Question

[Thắng Nguyễn]

ĐƯờng tròn O đường kinh AA' ngoại tiếp tam giác ABC có trực tâm H. D thuộc (O) G,E,I là trung điểm AD, A'D, BC và (OEI) cắt đường tròn Euler của tam giác ABC tại J. K là trung điểm AH. Chứng minh rằng G,K,O,J đồng viên.

Answer 1

[Nguyễn Tất Đạt]

Bổ sung đề: D là điểm bất kì nằm trên (O).

Gọi (U) là đường tròn ngoại tiếp \(\Delta\)DAH, kẻ đường kính AL của (U), gọi DA' cắt BC tại S.

Đường thẳng AI cắt (BHC) tại Y, Z đối xứng với A qua E. Đường tròn (A'YZ) tâm V cắt (BHC) tại X khác Y.

Dễ thấy bốn điểm O,I,E,S đồng viên và OS là đường kính của (OEI)

Vì \(V_{\left(A',2\right)}:\left(OEI\right)\rightarrow\left(ADH\right)\)nên S là trung điểm của A'L

Ta thấy (ABC) và (BHC) đối xứng nhau qua trung điểm cạnh BC nên A đối xứng với Y qua I

Từ đó tứ giác AA'YH là hình bình hành, AA'ZD cũng là hình bình hành. Suy ra (ADH) = (A'ZY)

Hay \(\Delta\)AUH = \(\Delta\)A'VY, UL // A'V. Đồng thời có S là trung điểm A'L, vậy thì S cũng là trung điểm UV

Từ hai tam giác AUH và A'VY bằng nhau có các cặp cạnh song song, suy ra UV = 2SV = HY

Gọi T là điểm đối xứng với H qua S. Khi đó SV là đường trung bình của \(\Delta\)HTY, suy ra V là trung điểm YT

Hay YT là đường kính của (V). Cũng dễ có YH là đường kính của (BHC). Suy ra H,S,T,X thẳng hàng (^YXT = ^YXH = 90⁰)

Ta có \(\overline{SH}.\overline{SX}=\overline{SB}.\overline{SC}=\overline{SA'}.\overline{SD}\)nên bốn điểm D,H,A',X đồng viên   (1)

Mặt khác gọi J' là trung điểm của AX thì \(V_{\left(A,2\right)}:\left(OJIE\right)\rightarrow\left(A'XYZ\right)\)nên J' thuộc (OEI)

Tương tự, với M,N là trung điểm AB,AC thì \(V_{\left(A,2\right)}:\left(MIJN\right)\rightarrow\left(BYXC\right)\)nên J' thuộc (Euler)

Từ đó J trùng J'. Suy ra \(V_{\left(A,2\right)}:G\rightarrow D;K\rightarrow H;O\rightarrow A';J\rightarrow X\)  (2)

Từ (1) và (2) suy ra bốn điểm G,K,O,J đồng viên (đpcm).

Answer 2

[Nguyễn Linh Chi]

Bạn kiểm tra lại đề nhé! điểm D ?