Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(a^3+b^3+c^3-3abc=1\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^3+c^3-3ab\left(a+b\right)-3abc=1\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)=1\) (1)
Do \(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca>0\Rightarrow a+b+c>0\)
(1)\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=\dfrac{1}{a+b+c}\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca+\dfrac{1}{a+b+c}\)
\(\Leftrightarrow3a^2+3b^2+3c^2=\left(a+b+c\right)^2+\dfrac{1}{a+b+c}\ge3\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge1\)
Bạn có thể giải thích phần (1) <=> với cái đó được ko. Mình vẫn chưa hiểu mấy bước sau lắm
\(P=\sum\frac{a^3}{\sqrt{1+b^2}}=\sum\frac{\sqrt{2}a^4}{\sqrt{2}a\sqrt{1+b^2}}\ge\sum\frac{2\sqrt{2}a^4}{2a^2+b^2+1}\ge\frac{2\sqrt{2}\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{3\left(a^2+b^2+c^2\right)+3}=\frac{3\sqrt{2}}{2}\)
\(\Rightarrow P_{min}=\frac{3\sqrt{2}}{2}\) khi \(a=b=c=1\)
\(\frac{a^3}{\sqrt{b^2+3}}+\frac{a^3}{\sqrt{b^2+3}}+\frac{b^2+3}{8}\ge\frac{3}{2}a^2\)\(\Leftrightarrow\)\(\frac{a^3}{\sqrt{b^2+3}}\ge\frac{3}{4}a^2-\frac{1}{16}b^2-\frac{3}{16}\)
\(P=\Sigma\frac{a^3}{\sqrt{b^2+3}}\ge\frac{3}{4}\left(a^2+b^2+c^2\right)-\frac{1}{16}\left(a^2+b^2+c^2\right)-\frac{9}{16}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1
\(A=\dfrac{a+b+c}{a+\sqrt{\dfrac{a}{2}.2b}+\sqrt[3]{\dfrac{a}{4}.b.4c}}\ge\dfrac{a+b+c}{a+\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{a}{2}+2b\right)+\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{a}{4}+b+4c\right)}=\dfrac{3}{4}\)