K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Dưới đây là một vài câu hỏi có thể liên quan tới câu hỏi mà bạn gửi lên. Có thể trong đó có câu trả lời mà bạn cần!
18 tháng 9 2015
Ta có \(x,y>1\) và thoả mãn \(A=\frac{x^3+y^3-x^2-y^2}{\left(x-1\right)\left(y-1\right)}=\frac{x^2\left(x-1\right)+y^2\left(y-1\right)}{\left(x-1\right)\left(y-1\right)}=\frac{x^2}{y-1}+\frac{y^2}{x-1}.\)
Theo bất đẳng thức Cô-Si ta có \(\frac{x^2}{y-1}+4\left(y-1\right)\ge2\sqrt{\frac{x^2}{y-1}\cdot4\left(y-1\right)}=4x,\)
và \(\frac{y^2}{x-1}+4\left(x-1\right)\ge2\sqrt{\frac{y^2}{x-1}\cdot4\left(x-1\right)}=4y.\)
Cộng hai bất đẳng thức lại ta được \(\frac{x^2}{y-1}+\frac{y^2}{x-1}+4\left(x+y-2\right)\ge4\left(x+y\right)\to A\ge8.\) Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(x=2\left(y-1\right),y=2\left(x-1\right)\to x=y=2.\) Vậy giá trị bé nhất của biểu thức \(A\)là \(8.\)
9 tháng 10 2019
Luôn có: \(4xy\le\left(x+y\right)^2\)
<=> \(xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}=\frac{4^2}{4}=4\)
=> \(-xy\ge-4\)
Có \(x+y=4\)
<=> \(x^2+y^2+2xy=16\)
<=>\(x^2+y^2=16-2xy\ge16+2\left(-4\right)=8\)
<=>A\(\ge8\)
Dấu "=" xảy ra <=>x=y=2
VD
1
18 tháng 9 2017
áp dụng bđt cô si ta có:
\(xy\le\frac{x^2+y^2}{2};yz\le\frac{y^2+z^2}{2};zx\le\frac{z^2+x^2}{2}\)
\(\Rightarrow A\ge\sqrt{\frac{x^2+y^2}{2}}+\sqrt{\frac{y^2+z^2}{2}}+\sqrt{\frac{z^2+x^2}{2}}\)
theo bunhia thì \(2\left(x^2+y^2\right)\ge\left(x+y\right)^2;2\left(y^2+z^2\right)\ge\left(y+z\right)^2;2\left(z^2+x^2\right)\ge\left(z+x\right)^2\)
\(\Rightarrow A\ge\sqrt{\frac{\left(x+y\right)^2}{4}}+\sqrt{\frac{\left(y+z\right)^2}{4}}+\sqrt{\frac{\left(z+x\right)^2}{4}}=\frac{x+y}{2}+\frac{y+z}{2}+\frac{z+x}{2}=x+y+z=1\)
Vậy \(Min_A=1\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{3}\)
T
1
27 tháng 2 2019
\(\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(y+\frac{1}{y}\right)^2\ge\frac{\left(x+y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)^2}{2}\ge\frac{\left(x+y+\frac{4}{x+y}\right)^2}{2}=\frac{25}{2}\) (Vì x+y=1)
Vậy Min của bt trên là 25/2. Đạt được khi x=y=1/2.
21 tháng 11 2016
Áp dụng BĐT \(\sqrt{a^2+b^2}\ge\frac{\sqrt{2}}{2}\left(a+b\right)\) (bạn tự chứng minh)
Ta có \(P=\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z}+\frac{\sqrt{y^2+z^2}}{x}+\frac{\sqrt{z^2+x^2}}{y}\ge\frac{\sqrt{2}}{2}\left(\frac{x+y}{z}+\frac{y+z}{x}+\frac{z+x}{y}\right)\)
\(=\frac{\sqrt{2}}{2}\left[\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+\left(\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\right)+\left(\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\right)\right]\ge\frac{\sqrt{2}}{2}\left(2+2+2\right)=3\sqrt{2}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}x=y=z\\x,y,z>0\end{cases}}\)
Vậy min P = \(3\sqrt{2}\) khi x = y = z
16 tháng 7 2017
bn tìm đề thi hsg tỉnh thanh hóa lớp 9 năm nào đó là thấy
bài này dài,ngại làm
đặt là được
TN
19 tháng 7 2017
Câu hỏi của Hoàng Gia Anh Vũ - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath
Luôn có : \(4xy< \left(x+y\right)^2\)
\(\Leftrightarrow xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}=\frac{4^2}{4}=4\)
\(\Rightarrow-xy\ge-4\)
Có \(x+y=4\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+2xy=16\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2=16-2xy\ge16+2\left(-4\right)=8\)
\(\Leftrightarrow A\ge8\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=2\)
Có: \(A=x^2+y^2=\frac{1}{2}\left(1^2+1^2\right)\left(x^2+y^2\right)\ge\frac{1}{2}\left(x+y\right)^2=\frac{4^2}{2}=8\)( Bunhia)
Dấu "=" xảy ra <=> x = y =2.
Hoặc
Có: \(\left(x-y\right)^2\ge0;\forall x,y\)=> \(x^2+y^2\ge2xy\Rightarrow2x^2+2y^2\ge x^2+y^2+2xy\)
=> \(2\left(x^2+y^2\right)\ge\left(x+y\right)^2\)
=> \(A=x^2+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2}=8\)( có thể áp dụng luôn )
=> Dấu "=" xảy ra <=> x = y =2/