Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(VT-VP=\Sigma_{cyc}\frac{2a+b+c}{a^2b\left(a+b+c\right)}\left(a-b\right)^2\ge0\)
hay \(\frac{a}{c^2}+\frac{1}{a}\ge\frac{2}{c}\)\(\Leftrightarrow\)\(\frac{a}{c^2}\ge\frac{2}{c}-\frac{1}{a}\)\(\Rightarrow\)\(VT\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\)
"=" \(\Leftrightarrow\)\(a=b=c\)
1) Không mất tính tổng quát, giả sử \(a\le b\le c\Rightarrow3=a+b+c\le3c\Rightarrow1\le c\le2\Rightarrow\left(c-1\right)\left(c-2\right)\le0\)
\(LHS=a^2+b^2+c^2=\left(a^2+2ab+b^2\right)+c^2-2ab\)
\(\le\left(a+b\right)^2+c^2=\left(3-c\right)^2+c^2\)
\(=2\left(c-1\right)\left(c-2\right)+5\le5\)
Đẳng thức xảy ra khi \(\left(a;b;c\right)=\left(0;1;2\right)\) và các hoán vị.
2) Đề sai chỗ biểu thức M! Sao lại là M = x2 + y2 + x2 (chỗ mình in đậm)
3) Đề cho x, y, z không âm mà sao lại bắt chứng minh với các biến a, b? Sửa đề lại hết đi rồi mình làm nốt!
Mình xin lỗi vì viết sai nhé, phải là:
1) Cho 0 ≤ a, b, c ≤ 2 và a + b + c = 3. Chứng minh a2 + b2 + c2 ≤ 5
2) Cho -3 ≤ x, y, z ≤ 1, x + y + z = -1. Tính giá trị nhỏ nhất của M = x2 + y2 +z2
3) Cho các số dương a, b có tổng bằng 1. CMR:
\(a-b=\sqrt{1-b^2}-\sqrt{1-a^2}\Leftrightarrow a+\sqrt{1+a^2}=b+\sqrt{1+b^2}\)
Bình phương cả 2 vế: \(2a\sqrt{1+a^2}=2b\sqrt{1+b^2}\)
Tiếp tục bình phương: \(a^2+a^4=b^2+b^4\)
\(\Leftrightarrow a^2-b^2+\left(b^2-a^2\right)\left(a^2+b^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-b^2\right)\left(1-a^2-b^2\right)=0\)
Đến đây ta có: \(\orbr{\begin{cases}a=b\\a^2+b^2=1\end{cases}}\)
Nếu a=b sẽ có vô số a,b TMDK nên đề bài nên có thêm điều kiện a,b phân biệt
1) Bài này có 2 cách giải
Cách 1:
để ý rằng \(\hept{\begin{cases}1-x^2=\left(1-x\right)\left(1+x\right)=\left(y+z\right)\left(2x+y+z\right)\\x+yz=x\left(x+y+z\right)+yz=\left(x+y\right)\left(x+z\right)\end{cases}}\)
ta có: \(\frac{1-x^2}{x+yz}=\frac{a\left(b+c\right)}{bc}=\frac{a}{b}+\frac{a}{c}\)
trong đó: \(a=y+z;b=z+x;c=x+y\). Tương tự, ta cũng có:
\(\hept{\begin{cases}\frac{1-y^2}{y+zx}=\frac{b}{c}+\frac{b}{a}\\\frac{1-z^2}{z+xy}=\frac{c}{a}+\frac{c}{b}\end{cases}}\)
Do đó sử dụng BĐT AM-GM ta có:
\(VT_{\left(1\right)}=\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)+\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)\ge6\)
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c và x=y=z=\(\frac{1}{3}\)
Cách 2:
Sử dụng BĐT AM-GM dạng \(ab\le\frac{\left(a+b\right)^2}{4}\), ta có:
\(x+yz\le x+\frac{\left(y+z\right)^2}{4}=x+\frac{\left(1-x\right)^2}{4}=\frac{\left(1+x\right)^2}{4}\)
Do đó: \(\frac{1-x^2}{x+yz}\ge\frac{4\left(1-x^2\right)}{\left(1+x\right)^2}=\frac{4\left(1-x\right)}{1+x}=4\left(\frac{2}{1+x}-1\right)\)
tương tự có:\(\hept{\begin{cases}\frac{1-y^2}{x+yz}\ge4\left(\frac{2}{1+y}-1\right)\\\frac{1-z^2}{z+xy}\ge4\left(\frac{2}{1+z}-1\right)\end{cases}}\)
Cộng các đánh giá trên và sử dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng cộng mẫu, ta được
\(VT_{\left(1\right)}\ge8\left(\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}\right)-12\)
\(\ge8\cdot\frac{9}{3+x+y+z}+12=6\)
a) 2x-mx+2m-1=0
\(\Leftrightarrow x\left(2-m\right)=1-2m\left(1\right)\)
*Nếu \(m=2\)thay vào (1) ta được:
\(x\left(2-2\right)=1-2\cdot2\Leftrightarrow0x=-3\)
Với \(m=\frac{1}{2}\) ,pt trên vô nghiệm.
*Nếu \(m\ne2\)thì phương trình (1) có nghiệm \(x=\frac{1-2m}{2-m}\)
Vậy \(m\ne2\)thì phương trình có nghiệm duy nhất \(x=\frac{1-2m}{2-m}\)
b)c) mình biến đổi thôi, phần lập luận bạn tự lập luận nhé
b)\(mx+4=2x+m^2\Leftrightarrow mx-2x=m^2-4\Leftrightarrow x\left(m-2\right)=\left(m-2\right)\left(m+2\right)\)
*Nếu \(m\ne2\).....pt có ngiệm x=m+2
*Nếu \(m=2\)....pt có vô số nghiệm
Vậy ....
c)\(\left(m^2-4\right)x+m-2=0\Leftrightarrow\left(m-2\right)\left(m+2\right)x=-\left(m-2\right)\)
Nếu \(m=2\).... pt có vô số nghiệm
Nếu \(m=-2\)..... pt vô nghiệm
Nếu \(m\ne\pm2\).... pt có nghiệm \(x=-m-2\)
Để nghiệm \(x=-m-2\)dương \(\Leftrightarrow m+2< 0\Leftrightarrow m< -2\ne\pm2\)
Vậy m<-2