K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

13 tháng 10 2019

Theo BĐT Cauchy : 

\(\sqrt{\frac{b+c}{a}.1}\le\frac{\frac{b+c}{a}+1}{2}=\frac{a+b+c}{2a}\)

Do đó : \(\sqrt{\frac{a}{b+c}}\ge\frac{2a}{a+b+c}\)

Tương tự : \(\sqrt{\frac{b}{c+a}}\ge\frac{2b}{a+b+c}\)

              \(\sqrt{\frac{c}{a+b}}\ge\frac{2c}{a+b+c}\)

\(\Rightarrow\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}\ge\frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi :

\(\hept{\begin{cases}a=b+c\\b=c+a\\c=a+b\end{cases}\Rightarrow a+b+c=0}\), vô lí vì a, b, c là các số dương nên đẳng thức không xảy ra.

Vậy \(\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}>2\).

13 tháng 10 2019

Chết cha, mình bị thiếu chỗ dấu "=" xảy ra là c = a + b.

NV
14 tháng 10 2019

\(\sqrt{\frac{a}{b+c}}=\frac{a}{a\sqrt{b+c}}\ge\frac{2a}{a+b+c}\)

Tương tự: \(\sqrt{\frac{b}{c+a}}\ge\frac{2b}{a+b+c}\) ; \(\sqrt{\frac{c}{a+b}}\ge\frac{2c}{a+b+c}\)

\(\Rightarrow\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}\ge\frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\)

Dấu "=" ko xảy ra nên \(\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}>2\)

1 tháng 8 2016

sửa đề lại bạn nhé =) \(\frac{a}{A}=\frac{b}{B}=\frac{c}{C}=\frac{d}{D}\)

đặt \(\frac{a}{A}=\frac{b}{B}=\frac{c}{C}=\frac{d}{D}=k\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=kA\\b=kB\end{cases}va\hept{\begin{cases}c=kC\\d=kD\end{cases}}}\)

theo đề bài ta có \(\sqrt{aA}+\sqrt{bB}+\sqrt{cC}+\sqrt{dD}=\sqrt{kA^2}+\sqrt{kB^2}+\sqrt{kC^2}+\sqrt{kD^2}\)

=\(\sqrt{k}\left(A+B+C+D\right)\left(1\right)\)

ta lại có \(\sqrt{\left(a+b+c+d\right)\left(A+B+C+D\right)}=\sqrt{\left(kA+kB+kC+kD\right)\left(A+B+C+D\right)}\)

=\(\sqrt{k\left(A+B+C+D\right)\left(A+B+C+D\right)}=\sqrt{k\left(A+B+C+D\right)^2}=\sqrt{k}\left(A+B+C+D\right)\left(2\right)\)

(1),(2)=> \(\sqrt{aA}+\sqrt{bB}+\sqrt{cC}+\sqrt{dD}=\sqrt{\left(a+b+c+d\right)\left(A+B+C+D\right)}\)

31 tháng 7 2016

gt thiếu kìa. 

NV
30 tháng 9 2019

\(\frac{a}{A}=\frac{b}{B}=\frac{c}{C}=\frac{d}{D}=\frac{a+b+c+d}{A+B+C+D}\)

\(\Rightarrow A.a=\frac{A^2\left(a+b+c+d\right)}{A+B+C+D}\Rightarrow\sqrt{Aa}=\frac{A\sqrt{a+b+c+d}}{\sqrt{A+B+C+D}}\)

Tương tự ta có: \(\sqrt{Bb}=\frac{B\sqrt{a+b+c+d}}{\sqrt{A+B+C+D}}\); \(\sqrt{Cc}=\frac{C\sqrt{a+b+c+d}}{\sqrt{A+B+C+D}}\); \(\sqrt{Dd}=\frac{D\sqrt{a+b+c+d}}{\sqrt{A+B+C+D}}\)

Cộng vế với vế:

\(\sqrt{Aa}+\sqrt{Bb}+\sqrt{Cc}+\sqrt{Dd}=\frac{\sqrt{a+b+c+d}}{\sqrt{A+B+C+D}}\left(A+B+C+D\right)=\sqrt{\left(a+b+c+d\right)\left(A+B+C+D\right)}\)

30 tháng 9 2019

Làm cách này chắt đuoc

Ap dung BDT Bun-nhi-a-cop-xki ta co:

\(\left(\sqrt{Aa}+\sqrt{Bb}+\sqrt{Cc}+\sqrt{Dd}\right)^2\le\left(A+B+C+D\right)\left(a+b+c+d\right)\)

\(\Rightarrow\sqrt{Aa}+\sqrt{Bb}+\sqrt{Cc}+\sqrt{Dd}\le\sqrt{\left(a+b+c+d\right)\left(A+B+C+D\right)}\)Dau '=' xay ra khi \(\frac{A}{a}=\frac{B}{b}=\frac{C}{c}=\frac{D}{d}\)hay \(\frac{a}{A}=\frac{b}{B}=\frac{c}{C}=\frac{d}{D}\)

Ma theo gia thuyet cua de bai thi:

\(\frac{a}{A}=\frac{b}{B}=\frac{c}{C}=\frac{d}{D}\)

Nen dang thuc tren ton tai voi \(\frac{a}{A}=\frac{b}{B}=\frac{c}{C}=\frac{d}{D}\)

20 tháng 3 2019

sử dụng bdt bunhiacopxki có đc ko bn

21 tháng 3 2019

\(a^2\sqrt{a}+b^2\sqrt{b}+c^2\sqrt{c}+\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}}\)

\(=\left(a^2\sqrt{a}+\frac{1}{\sqrt{a}}\right)+\left(b^2\sqrt{b}+\frac{1}{\sqrt{b}}\right)+\left(c^2\sqrt{c}+\frac{1}{\sqrt{c}}\right)\)

\(\ge2a+2b+2c\ge6\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2=6\)

22 tháng 9 2020

Đặt đẳng thức là A. Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:

\(\sqrt{2b\left(a-b\right)}\le\frac{2b+\left(a+b\right)}{2}=\frac{a+3b}{2}\)

Từ đó: \(A\ge\frac{2a\sqrt{2}}{a+3b}+\frac{2b\sqrt{2}}{b+3c}+\frac{2c\sqrt{2}}{c+3a}\)

Ta sẽ chứng minh: \(M=\frac{a}{a+3b}+\frac{b}{b+3c}+\frac{c}{c+3a}\ge\frac{3}{4}\)

Thật vậy, ta có: \(M=\frac{a^2}{a^2+3ab}+\frac{b^2}{b^2+3bc}+\frac{c^2}{c^2+3ca}\)

Theo BĐT AM-GM ta có:

\(ab+bc+ca\le a^2+b^2+c^2\)

Áp dụng BĐT cauchy ta được:

\(M\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\frac{4}{3}\left(a^2+b^2+c^2\right)+\frac{8}{3}\left(ab+bc+ca\right)}\)\(=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\frac{4}{3}\left(a+b+c\right)^2}=\frac{3}{4}\)

Vì vậy: \(\frac{a}{a+3b}+\frac{b}{b+3c}+\frac{c}{c+3a}\ge\frac{3}{4}\)

Từ đó ta có: \(A\ge\frac{2a\sqrt{2}}{a+3b}+\frac{2b\sqrt{2}}{b+3c}+\frac{2c\sqrt{2}}{c+3a}\ge2\sqrt{2}.\frac{3}{4}=\frac{3\sqrt{2}}{2}\)

Vậy đẳng thức xảy xa khi và chỉ khi a=b=c

26 tháng 12 2018

Ta có: \(a< a+b\left(a,b>0\right)\Rightarrow\frac{a}{a+b}< 1\)

Có: \(\frac{a}{a+b}=\sqrt{\frac{a}{a+b}}.\sqrt{\frac{a}{a+b}}\)

Lại có: \(\frac{a}{b+a}< 1\Leftrightarrow\sqrt{\frac{a}{b+a}}< 1\Rightarrow\sqrt{\frac{a}{a+b}}.\sqrt{\frac{a}{a+b}}< \sqrt{\frac{a}{a+b}}\Rightarrow\frac{a}{a+b}< \sqrt{\frac{a}{a+b}}\)

Chứng minh tương tự ta có:

\(\frac{b}{b+c}< \sqrt{\frac{b}{b+c}}\)

\(\frac{c}{c+a}< \sqrt{\frac{c}{c+a}}\)

\(\Rightarrow\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< \sqrt{\frac{a}{a+b}}+\sqrt{\frac{b}{b+c}}+\sqrt{\frac{c}{c+a}}\)

                                                                                               đpcm

Sai thì thôi nhé~

Mới lp 8

doan thi khanh linh câm cái mồm đi.đã ngu lại còn thích k

áp dụng co si ta có:

\(\frac{b+c}{\sqrt{a}}+\frac{c+a}{\sqrt{b}}+\frac{a+b}{\sqrt{c}}\ge\frac{2\sqrt{bc}}{\sqrt{a}}+\frac{2\sqrt{ca}}{\sqrt{b}}+\frac{2\sqrt{ab}}{\sqrt{c}}\)

\(=\left(\frac{\sqrt{bc}}{\sqrt{a}}+\frac{\sqrt{ca}}{\sqrt{b}}\right)+\left(\frac{\sqrt{ca}}{\sqrt{b}}+\frac{\sqrt{ab}}{\sqrt{c}}\right)+\left(\frac{\sqrt{ab}}{\sqrt{c}}+\frac{\sqrt{bc}}{\sqrt{a}}\right)\)

\(\ge2\sqrt{a}+2\sqrt{b}+2\sqrt{c}=\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)+\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)\)

\(\ge\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+3\sqrt[3]{\sqrt{abc}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+3\)

\(\Rightarrow Q.E.D\)