C
0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Dưới đây là một vài câu hỏi có thể liên quan tới câu hỏi mà bạn gửi lên. Có thể trong đó có câu trả lời mà bạn cần!
AH
Akai Haruma
Giáo viên
7 tháng 8 2019
Bài 1:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(\text{VT}=\frac{a^4}{a^2b+9a}+\frac{b^4}{ab^2+9b}+\frac{b^4}{b^2c+9b}+\frac{c^4}{bc^2+9c}+\frac{c^4}{c^2a+9c}+\frac{a^4}{ca^2+9a}\)
\(\ge \frac{(a^2+b^2+b^2+c^2+c^2+a^2)^2}{ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)+18(a+b+c)}=\frac{4(a^2+b^2+c^2)^2}{ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)+162}\)
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(a^3+b^3+c^3=\frac{a^3+b^3+b^3}{3}+\frac{b^3+c^3+c^3}{3}+\frac{c^3+a^3+a^3}{3}\geq ab^2+bc^2+ca^2\)
Tương tự: \(a^3+b^3+c^3\geq a^2b+b^2c+c^2a\)
\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3\geq \frac{ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)}{2}\)
\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3+ab(a+b)+bc(c+a)+ca(c+a)\geq \frac{3}{2}[ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)]\)
\(\Leftrightarrow (a^2+b^2+c^2)(a+b+c)\geq \frac{3}{2}[ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)]\)
\(\Leftrightarrow ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)\leq 6(a^2+b^2+c^2)\)
Do đó: \(\text{VT}\geq \frac{4(a^2+b^2+c^2)^2}{6(a^2+b^2+c^2)+162}\)
Đặt \(a^2+b^2+c^2=t\). Dễ thấy \(t\geq \frac{(a+b+c)^2}{3}=27\). Khi đó:
\(\frac{4(a^2+b^2+c^2)^2}{6(a^2+b^2+c^2)+162}-9=\frac{4t^2}{6t+162}-9=\frac{2(t-27)(2t+27)}{6t+162}\geq 0, \forall t\geq 27\)
\(\Rightarrow \text{VT}\geq \frac{4t^2}{6t+162}\geq 9\) (đpcm). Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=3$
AH
Akai Haruma
Giáo viên
7 tháng 8 2019
Bài 2:
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(\text{VT}=a-\frac{ab^2}{a+b^2}+b-\frac{bc^2}{b+c^2}+c-\frac{ca^2}{c+a^2}=(a+b+c)-\left(\frac{ab^2}{a+b^2}+\frac{bc^2}{b+c^2}+\frac{ca^2}{c+a^2}\right)\)
\(\geq (a+b+c)-\left(\frac{ab^2}{2\sqrt{ab^2}}+\frac{bc^2}{2\sqrt{bc^2}}+\frac{ca^2}{\sqrt{ca^2}}\right)=(a+b+c)-\frac{1}{2}(\sqrt{ab^2}+\sqrt{bc^2}+\sqrt{ca^2})\)
\(\geq (a+b+c)-\frac{1}{2}\left(\frac{ab+b}{2}+\frac{bc+c}{2}+\frac{ca+a}{2}\right)=\frac{3(a+b+c)-(ab+bc+ac)}{2}\)
Tiếp tục áp dụng BĐT AM-GM:
\((a+b+c)^2\geq 3(ab+bc+ac)=(a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ac)\geq (ab+bc+ac)^2\)
\(\Rightarrow a+b+c\geq ab+bc+ac\)
Do đó: \(\text{VT}\geq \frac{3(a+b+c)-(a+b+c)}{2}=\frac{a+b+c}{2}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$
T
20 tháng 3 2020
Giả sử b= min {a,b,c}
\(VT\ge\frac{a^3+b^3+c^3}{\frac{2\left(a+b+c\right)^3}{27}}+\frac{1}{2}\left(\Sigma\frac{\left(a+b\right)^2}{ab+c^2}+\Sigma\frac{\left(a-b\right)^2}{ab+c^2}\right)\)
\(\ge\left[\frac{27\left(a^3+b^3+c^3\right)}{2\left(a+b+c\right)^3}+\frac{2\left(a+b+c\right)^2}{\left(ab+bc+ca+a^2+b^2+c^2\right)}\right]\)
Sau khi quy đồng ta cần chứng minh biểu thức sau đây không âm:
Đó là điều hiển nhiên vì b = min {a,b,c}
WR
20 tháng 8 2017
1.
\(-1\le a\le2\Rightarrow\hept{\begin{cases}a+1\ge0\\a-2\le0\end{cases}\Rightarrow\left(a+1\right)\left(a-2\right)\le0\Leftrightarrow a^2\le}2+a\)
Tương tự \(b^2\le2+b,c^2\le2+c\Rightarrow a^2+b^2+c^2\le6+a+b+c=6\)
Dấu "=" xảy ra khi a=2,b=c=-1 và các hoán vị của chúng
WR
20 tháng 8 2017
Xét \(\frac{a^2+1}{a}=a+\frac{1}{a}\)
Dễ thấy dấu "=" xảy ra khi \(a=\frac{1}{3}\)
khi đó \(a+\frac{1}{a}=a+\frac{1}{9a}+\frac{8}{9a}\ge2\sqrt{\frac{a.1}{9a}}+\frac{8}{\frac{9.1}{3}}=\frac{10}{3}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{a^2+1}\le\frac{3}{10}\)
tương tự =>đpcm
NM
0
