Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(a>0\)
Có \(a^3=2-\sqrt{3}+3\sqrt[3]{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}\left(\sqrt[3]{2-\sqrt{3}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{3}}\right)+2+\sqrt{3}\)
\(\Leftrightarrow a^3=4+3a\)
\(\Leftrightarrow a\left(a^2-3\right)=4\)\(\Leftrightarrow a^2-3=\dfrac{4}{a}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{64}{\left(a^2-3\right)^3}=a^{.3}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{64}{\left(a^2-3\right)^3}-3a=a^2-3a=4\) là số nguyên.
![\displaystyle a=\sqrt[3]{{2-\sqrt{3}}}+\sqrt[3]{{2+\sqrt{3}}}](https://toancap2.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f97fff04475ef931060f897e441e2052_l3.svg)
. Chứng minh 
là số nguyên
Chú ý tới đẳng thức : \(\left(x+y\right)^3=x^3+y^3+3xy\left(x+y\right)\)
\(a=\sqrt[3]{2-\sqrt{3}}+\sqrt[3]{2+\sqrt{3}}\)
\(\Leftrightarrow a^3=2-\sqrt{3}+2+\sqrt{3}+3\sqrt[3]{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}\cdot a\)
\(\Leftrightarrow a^3=4+3\sqrt[3]{4-3}\cdot a\)
\(\Leftrightarrow a^3=4+3a\)
\(\Leftrightarrow a^3-3a=4\)
Khi đó: \(\frac{64}{\left(a^3-3a\right)^3}-3=\frac{64}{4^3}-3=1-3=-2\)
Ta có đpcm.
p/s: Mình nghĩ đề sai và sửa luôn rồi, có gì bạn ib lại.
Bạn xem lại đề bài. Thử giá trị $a$ vào biểu thức không thu đc số nguyên.
Bài 1:
Ta có:
\(\left(a-b+c\right)^3=a^3-b^3+c^3-3a^2b+3a^2c+3ab^2+3b^2c+3ac^2-3bc^2-6abc\)
\(\Rightarrow\left(\sqrt[3]{\frac{1}{9}}-\sqrt[3]{\frac{2}{9}}+\sqrt[3]{\frac{4}{9}}\right)^3=\frac{1}{9}-\frac{2}{9}+\frac{4}{9}-\frac{1}{3}.\sqrt[3]{2}+\frac{1}{3}.\sqrt[3]{4}+\frac{1}{3}.\sqrt[3]{4}+\frac{2}{3}.\sqrt[3]{2}\)
\(+\frac{2}{3}.\sqrt[3]{2}-\frac{2}{3}.\sqrt[3]{4}-\frac{4}{3}=\sqrt[3]{2}-1\)
\(\Rightarrow\sqrt[3]{\sqrt[3]{2}-1}=\sqrt[3]{\frac{1}{9}}-\sqrt[3]{\frac{2}{9}}+\sqrt[3]{\frac{4}{9}}\)
Đặt \(a=\frac{1}{x};b=\frac{1}{y};c=\frac{1}{z}\)thì \(x,y,z>0\)và ta cần chứng minh \(\frac{x}{\sqrt{3zx+yz}}+\frac{y}{\sqrt{3xy+zx}}+\frac{z}{\sqrt{3yz+xy}}\ge\frac{3}{2}\)\(\Leftrightarrow\frac{x^2}{x\sqrt{3zx+yz}}+\frac{y^2}{y\sqrt{3xy+zx}}+\frac{z^2}{z\sqrt{3yz+xy}}\ge\frac{3}{2}\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng phân thức, ta có: \(\frac{x^2}{x\sqrt{3zx+yz}}+\frac{y^2}{y\sqrt{3xy+zx}}+\frac{z^2}{z\sqrt{3yz+xy}}\ge\)\(\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x\sqrt{3zx+yz}+y\sqrt{3xy+zx}+z\sqrt{3yz+xy}}\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz, ta có: \(x\sqrt{3zx+yz}+y\sqrt{3xy+zx}+z\sqrt{3yz+xy}\)\(=\sqrt{x}.\sqrt{3zx^2+xyz}+\sqrt{y}.\sqrt{3xy^2+xyz}+\sqrt{y}.\sqrt{3yz^2+xyz}\)\(\le\sqrt{\left(x+y+z\right)\left[3\left(xy^2+yz^2+zx^2+xyz\right)\right]}\)
Ta cần chứng minh \(\sqrt{\left(x+y+z\right)\left[3\left(xy^2+yz^2+zx^2+xyz\right)\right]}\le\frac{2}{3}\left(x+y+z\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^4\ge\frac{9}{4}\left(x+y+z\right)\left[3\left(xy^2+yz^2+zx^2+xyz\right)\right]\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^3\ge\frac{27}{4}\left(xy^2+yz^2+zx^2+xyz\right)\)(*)
Không mất tính tổng quát, giả sử \(y=mid\left\{x,y,z\right\}\)thì khi đó \(\left(y-x\right)\left(y-z\right)\le0\Leftrightarrow y^2+zx\le xy+yz\)
\(\Leftrightarrow xy^2+zx^2\le x^2y+xyz\Leftrightarrow xy^2+yz^2+zx^2+xyz\le\)\(x^2y+yz^2+2xyz=y\left(z+x\right)^2=4y.\frac{z+x}{2}.\frac{z+x}{2}\)
\(\le\frac{4}{27}\left(y+\frac{z+x}{2}+\frac{z+x}{2}\right)^3=\frac{4\left(x+y+z\right)^3}{27}\)
Như vậy (*) đúng
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c
Ta có : a= \(\sqrt[3]{2-\sqrt{3}}\) + \(\sqrt[3]{2+\sqrt{3}}\)
Suy ra a^3 = 3a +4 => (a^2 -3)a=4
<=> \(\left(\frac{4}{a^2-3}\right)^3\)= a^3 <=>\(\frac{64}{\left(a^2-a\right)^3}\) -3a = 4
mà 4 nguyên suy ra đpcm
Ta có \(a=3\sqrt{2-\sqrt{3}}+\sqrt{3}^32_{\sqrt{3}}\)
Suy ra ta được 3= 3a + 4 => (a ngũ 2 - 3)a =4
Vậy kết quả khi tính đ là
=> (4 trên a2 - 3) trên 3 =a ngũ 3 <=> 64 trên a 2 - a3 - 3a =4