Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
thử bài bất :D
Ta có: \(\dfrac{1}{a^3\left(b+c\right)}+\dfrac{a}{2}+\dfrac{a}{2}+\dfrac{a}{2}+\dfrac{b+c}{4}\ge5\sqrt[5]{\dfrac{1}{a^3\left(b+c\right)}.\dfrac{a^3}{2^3}.\dfrac{\left(b+c\right)}{4}}=\dfrac{5}{2}\) ( AM-GM cho 5 số ) (*)
Hoàn toàn tương tự:
\(\dfrac{1}{b^3\left(c+a\right)}+\dfrac{b}{2}+\dfrac{b}{2}+\dfrac{b}{2}+\dfrac{c+a}{4}\ge5\sqrt[5]{\dfrac{1}{b^3\left(c+a\right)}.\dfrac{b^3}{2^3}.\dfrac{\left(c+a\right)}{4}}=\dfrac{5}{2}\) (AM-GM cho 5 số) (**)
\(\dfrac{1}{c^3\left(a+b\right)}+\dfrac{c}{2}+\dfrac{c}{2}+\dfrac{c}{2}+\dfrac{a+b}{4}\ge5\sqrt[5]{\dfrac{1}{c^3\left(a+b\right)}.\dfrac{c^3}{2^3}.\dfrac{\left(a+b\right)}{4}}=\dfrac{5}{2}\) (AM-GM cho 5 số) (***)
Cộng (*),(**),(***) vế theo vế ta được:
\(P+\dfrac{3}{2}\left(a+b+c\right)+\dfrac{2\left(a+b+c\right)}{4}\ge\dfrac{15}{2}\) \(\Leftrightarrow P+2\left(a+b+c\right)\ge\dfrac{15}{2}\)
Mà: \(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}=3\) ( AM-GM 3 số )
Từ đây: \(\Rightarrow P\ge\dfrac{15}{2}-2\left(a+b+c\right)=\dfrac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1
1. \(a^3+b^3+c^3+d^3=2\left(c^3-d^3\right)+c^3+d^3=3c^3-d^3\) :D
\(\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}=0\)
\(\Leftrightarrow x+y+z=0\)
Ta có
\(x^3+y^3+z^3-3xyz=\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx\right)=0\)
\(\Rightarrow x^3+y^3+z^3=3xyz\)
=> ĐPCM
Bài 2 :
\(\left(a+b+c\right)^2=3\left(ab+bc+ca\right)\)
<=> a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca = 3ab + 3bc + 3ca
<=> a^2 + b^2 + c^2 = ab + bc + ca
<=> 2a^2 + 2b^2 + 2c^2 = 2ab + 2bc + 2ca
<=> ( a - b )^2 + ( b - c )^2 + ( c - a )^2 = 0
<=> a = b = c
1.
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+18=2ab+6a+6b\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(a^2-6a+9\right)+\left(b^2-6b+9\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(a-3\right)^2+\left(b-3\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a-b=0\\a-3=0\\b-3=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow a=b=3\)
2.
\(\left(a+b+c\right)^2=3\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca=3ab+3bc+3ca\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ca+a^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a-b=0\\b-c=0\\c-a=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow a=b=c\)
Với A1 = 12. Ta sẽ chứng minh An =1 + 3 + ... + (2n-1) = n2 (đáp án d)
Giả sử An đúng với n = k tức Ak = 1 + 3 + ... + (2k - 1) = k2. Ta sẽ chứng minh nó cũng đúng với Ak+1
Thật vậy: Ak+1 = 1 + 3 + ... + (2k-1) + (2k+1) = Ak + 2k + 1 = k2 + 2k + 1 = (k+1)2
Vậy...
Ta có a3 + b3 = 2(c3 - 8d3)
<=> a3 + b3 = 2c3 - 16d3
<=> a3 + b3 + c3 + d3 = 3(c3 - 5d3) \(⋮3\)(1)
Xét hiệu a3 + b3 + c3 + d3 - (a + b + c + d)
= (a3 - a) + (b3 - b) + (c3 - c) + (d3 - d)
= (a - 1)a(a + 1) + (b - 1)b(b + 1) + (d - 1)d(d + 1) \(⋮3\) (tổng các tích 3 số nguyên liên tiếp)
=> a3 + b3 + c3 + d3 - (a + b + c + d) \(⋮\)3 (2)
Từ (1) và (2) => a + b + c + d \(⋮3\)
Ta có \(P=a^3+b^3+c^3\)
\(P=\left(a^3-a\right)+\left(b^3-7b\right)+\left(2c^3-2024c\right)+a+7b+2024c-c^3\)
\(P=a\left(a^2-1\right)+b\left(b^2-7\right)+2c\left(c^2-1012\right)\) ( do \(a+7b+2024c=c^3\))
Dễ thấy \(a\left(a^2-1\right)=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\) là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 6.
Xét \(f\left(b\right)=b\left(b^2-7\right)\). Dễ thấy \(f\left(b\right)\) chẵn với mọi số nguyên \(b\). Nếu \(b⋮3\Rightarrow f\left(b\right)⋮3\). Nếu \(b⋮̸3\) thì \(b^2\equiv1\left[3\right]\) \(\Rightarrow b^2-7⋮3\) \(\Rightarrow f\left(b\right)⋮3\). Vậy \(f\left(b\right)⋮3\) với mọi số nguyên \(b\). Vậy thì \(f\left(b\right)⋮6\)
Xét \(g\left(c\right)=2c\left(c^2-1012\right)\). Cũng dễ thấy \(g\left(c\right)\) chẵn. Nếu \(c⋮3\) thì \(g\left(c\right)⋮3\). Nếu \(c⋮̸3\) thì \(c^2\equiv1\left[3\right]\) \(\Rightarrow c^2-1012⋮3\) \(\Rightarrow g\left(c\right)⋮3\). Thế thì \(g\left(c\right)⋮6\) với mọi số nguyên \(c\)
Từ đó \(P=a\left(a^2-1\right)+f\left(b\right)+g\left(c\right)⋮6\), đpcm.
Bài 2.
\(a^3-a=a\left(a^2-1\right)=\left(a-1\right)a\left(a+1\right)⋮3\)
( 3 số nguyên liên tiếp chia hết cho 3)
\(P-\left(a_1+a_2+a_3+...+a_n\right)=\left(a_1^3-a_1\right)+\left(a_2^3-a_2\right)+...+\left(a_n^3-a_n\right)\) chia hết cho 3
=> P chia hết cho 3