Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) Tứ giác AHIK có:
A H I ^ = 90 0 ( I H ⊥ A B ) A K I ^ = 90 0 ( I K ⊥ A D ) ⇒ A H I ^ + A K I ^ = 180 0
=> Tứ giác AHIK nội tiếp.
b) ∆ IAD và ∆ IBC có:
A ^ 1 = B ^ 1 (2 góc nội tiếp cùng chắn cung DC của (O))
A I D ^ = B I C ^ (2 góc đối đỉnh)
=> ∆ IAD ~ ∆ IBC (g.g)
⇒ I A I B = I D I C ⇒ I A . I C = I B . I D
c, Xét đường tròn ngoại tiếp tứ giác AHIK có K ^ 1 = D ^ 1
A ^ 1 = H ^ 1 (2 góc nội tiếp cùng chắn cung IK)
mà A ^ 1 = B ^ 1 ⇒ H ^ 1 = B ^ 1
Chứng minh tương tự, ta được K ^ 1 = D ^ 1
∆ HIK và ∆ BCD có: H ^ 1 = B ^ 1 ; K ^ 1 = D ^ 1
=> ∆ HIK ~ ∆ BCD (g.g)
d) Gọi S1 là diện tích của ∆ BCD.
Vì ∆ HIK ~ ∆ BCD nên:
S ' S 1 = H K 2 B D 2 = H K 2 ( I B + I D ) 2 ≤ H K 2 4 I B . I D = H K 2 4 I A . I C (1)
Vẽ A E ⊥ B D , C F ⊥ B D ⇒ A E / / C F ⇒ C F A E = I C I A
∆ ABD và ∆ BCD có chung cạnh đáy BD nên:
S 1 S = C F A E ⇒ S 1 S = I C I A (2)
Từ (1) và (2) suy ra
S ' S 1 ⋅ S 1 S ≤ H K 2 4 I A . I C ⋅ I C I A ⇔ S ' S ≤ H K 2 4 I A 2 (đpcm)
a/ Ta có
IH vuông góc AB => ^AHI = 90
IK vuông góc AD => ^AKI = 90
=> H và K cùng nhìn AI dưới hai góc bằng nhau => AHIK là tứ giác nội tiếp
b/ Xét tam giác ADI và tam giác BCI có
^AID=^BIC (góc đối đỉnh)
sđ ^DAC = sđ ^DBC = 1/2 sđ cung CD (góc nội tiếp) => ^DAC=^DBC
=> tg ADI đồng dạng tg BCI
=> \(\frac{IA}{IB}=\frac{ID}{IC}\Rightarrow IA.IC=IB.ID\)
c/
Xét tứ giác nội tiếp AHIK có
^HIK = 180 - ^DAB (hai góc đối của tứ giác nội tiếp bù nhau) (1)
^DAC = ^KHI (2 góc nội tiếp chắn cùng 1 cung) (2)
Xét tứ giác nội tiếp ABCD có
^BCD = 180 - ^DAB (hai góc đối của tứ giác nội tiếp bù nhau) (3)
^DAC = ^DBC (hai góc nội tiếp chắn cùng 1 cung) (4)
Xét hai tam giác HIK và tam giác BCD
Từ (1) và (3) => ^HIK = ^BCD
Từ (2) và (4) => ^KHI = ^DBC
=> tam giác HIK đồng dạng với tam giác BCD
c: AHIK nội tiếp
=>góc AIK=góc AHK
BHKC nội tiếp nên góc ICK=góc AHK
=>góc ICK=góc AIK
=>góc AIC=90 độ
a) Tứ giác AHIK nội tiếp
\(\widehat{AHI}+\widehat{AKI}=90^0+90^0=180^0\)
\(\Rightarrow\text{AHIK nội tiếp}\)
b) \(IA\times IC=IB\times ID\)
\(\text{Xét }\Delta IAB\text{ và }\Delta IDC\text{ có:}\)
\(\widehat{AIB}=\widehat{DIC}\left(\text{2 góc đối đỉnh}\right)\)
\(\widehat{A_1}=\widehat{D_1}\left(\text{cùng chắn }\stackrel\frown{BC}\right)\)
\(\Rightarrow\Delta IAB\sim\Delta IDC\left(g-g\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{IA}{ID}=\dfrac{IB}{IC}\)
\(\Rightarrow IA\times IC=IB\times ID\)
c) \(\Delta HKI\sim\Delta BDC\)
\(\widehat{H_2}=\widehat{A_2}\left(\text{AHIK nội tiếp}\right)\)
\(\widehat{A_2}=\widehat{B_2}\left(\text{cùng chắn }\stackrel\frown{CD}\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{H_2}=\widehat{B_2}\) (1)
\(\widehat{K_1}=\widehat{A_1}\left(\text{AHIK nội tiếp}\right)\)
\(\widehat{A_1}=\widehat{D_1}\left(\text{cùng chắn }\stackrel\frown{BC}\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{K_1}=\widehat{D_1}\) (2)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\Delta HKI\sim\Delta BDC\left(g-g\right)\)
d) \(\dfrac{S_{HKI}}{S_{ABD}}\le\dfrac{HK^2}{4AI^2}\)
➤ \(\Delta HKI\sim\Delta BDC\Rightarrow\dfrac{S_{HKI}}{S_{BDC}}=\dfrac{HK^2}{BD^2}\Rightarrow S_{HKI}=\dfrac{HK^2\times S_{BDC}}{BD^2}\)
➤ \(\text{Đặt }T=\dfrac{S_{HKI}}{S_{ABD}}=\dfrac{HK^2\times S_{BDC}}{BD^2\times S_{ABC}}\)
Ta có: \(\dfrac{S_{BDC}}{S_{ABC}}=\dfrac{IC}{IA}\)
\(\Rightarrow T=\dfrac{HK^2\times IC}{BD^2\times IA}=\dfrac{HK^2\times IC}{\left(IB+ID\right)^2\times IA}\)
➤ Áp dụng bất đẳng thức AM - GM
\(\Rightarrow T\le\dfrac{HK^2\times IC}{4\times IB\times ID\times IA}=\dfrac{HK^2\times IC}{4\times IA\times IC\times IA}=\dfrac{HK^2}{4IA^2}\left(đpcm\right)\)
a) Xét tứ giác DFEC có
\(\widehat{DFC}=\widehat{DEC}\left(=90^0\right)\)
\(\widehat{DFC}\) và \(\widehat{DEC}\) là hai góc cùng nhìn cạnh DE
Do đó: DFEC là tứ giác nội tiếp(Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)
a: góc IED+góc ICD=180 độ
=>IEDC nội tiếp
b: góc ECI=góc BDA=1/2*sđ cung BA
=>góc ECI=góc BCI
=>CI là phân giác của góc BCE
a: góc AEB=góc AHB=90 độ
=>AEHB nội tiếp
góc AGD=1/2*180=90 độ
=>GD vuông góc AH
=>GD//BC
b: ABHE nội tiếp
=>góc EHC=góc BAD
mà góc BAD=góc DCB
nên góc EHC=góc DCB
=>EH//CD
góc ACD=1/2*180=90 độ
=>AC vuông góc CD
=>EH vuông góc AC tại N
=>góc ANH=90 độ
a/ Ta có
IH vuông góc AB => ^AHI = 90
IK vuông góc AD => ^AKI = 90
=> H và K cùng nhìn AI dưới hai góc bằng nhau => AHIK là tứ giác nội tiếp
b/ Xét tam giác ADI và tam giác BCI có
^AID=^BIC (góc đối đỉnh)
sđ ^DAC = sđ ^DBC = 1/2 sđ cung CD (góc nội tiếp) => ^DAC=^DBC
=> tg ADI đồng dạng tg BCI
=>\(\frac{IA}{IB}=\frac{ID}{IC}\)⇒IA.IC=IB.ID
c/
Xét tứ giác nội tiếp AHIK có
^HIK = 180 - ^DAB (hai góc đối của tứ giác nội tiếp bù nhau) (1)
^DAC = ^KHI (2 góc nội tiếp chắn cùng 1 cung) (2)
Xét tứ giác nội tiếp ABCD có
^BCD = 180 - ^DAB (hai góc đối của tứ giác nội tiếp bù nhau) (3)
^DAC = ^DBC (hai góc nội tiếp chắn cùng 1 cung) (4)
Xét hai tam giác HIK và tam giác BCD
Từ (1) và (3) => ^HIK = ^BCD
Từ (2) và (4) => ^KHI = ^DBC
=> tam giác HIK đồng dạng với tam giác BCD