NV
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
TH
0
NT
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
2 tháng 12 2021
\(A=\dfrac{x^3+y^3+4}{xy+1}\ge\dfrac{x^3+y^3+4}{\dfrac{x^2+y^2}{2}+1}=\dfrac{x^3+y^3+4}{2}=\dfrac{\dfrac{1}{2}\left(x^3+x^3+1\right)+\dfrac{1}{2}\left(y^3+y^3+1\right)+3}{2}\)
\(\ge\dfrac{\dfrac{3}{2}\left(x^2+y^2\right)+3}{2}=3\)
\(A_{min}=3\) khi \(x=y=1\)
Do \(x^2+y^2=2\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\le\sqrt{2}\\y\le\sqrt{2}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^3\le\sqrt{2}x^2\\y^3\le\sqrt{2}y^2\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow A\le\dfrac{\sqrt{2}\left(x^2+y^2\right)+4}{xy+1}=\dfrac{4+2\sqrt{2}}{xy+1}\le\dfrac{4+2\sqrt{2}}{1}=4+2\sqrt{2}\)
\(A_{max}=4+2\sqrt{2}\) khi \(\left(x;y\right)=\left(0;\sqrt{2}\right);\left(\sqrt{2};0\right)\)
LT
0
KK
0
AV
1
29 tháng 7 2019
A=x3+y3=(x+y)(x2-xy+y2)
=(x+y)2\(\ge\)0
Dấu "=" xảy ra khi x=-y
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(x^2+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2}\Rightarrow x+y\le\sqrt{2}\)
\(A=x^3+y^3=\frac{x^4}{x}+\frac{y^4}{y}\ge\frac{\left(x^2+y^2\right)^2}{x+y}\ge\frac{1}{\sqrt{2}}\)
Dấu '=' xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}x=y\\x^2+y^2=1\end{cases}\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{\sqrt{2}}}\)
Vậy \(A_{min}=\frac{1}{\sqrt{2}}\)khi \(x=y=\frac{1}{\sqrt{2}}\)
Từ giả thuyết suy ra:\(0\le x^2,y^2\le1\Rightarrow\hept{\begin{cases}x^3\le x\\y^3\le y\end{cases}}\)
\(A=x^3+y^3\le x+y\le\sqrt{2}\)
Dấu '=' xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{\sqrt[3]{\sqrt{2}}}\)
Vậ5y \(A_{max}=\sqrt{2}\)khi \(x=y=\frac{1}{\sqrt[3]{\sqrt{2}}}\)