NT
6
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Dưới đây là một vài câu hỏi có thể liên quan tới câu hỏi mà bạn gửi lên. Có thể trong đó có câu trả lời mà bạn cần!
AH
Akai Haruma
Giáo viên
11 tháng 9 2017
Lời giải:
1)
Áp dụng BĐT AM-GM cho các số không âm ta có:
\(a^4+3=a^4+1+1+1\geq 4\sqrt[4]{a^4}\)
\(\Leftrightarrow a^4+3\geq 4|a|\geq 4a\)
Ta có đpcm. Dấu bằng xảy ra khi \(a=1\)
2)
Ghi đầy đủ đề:
\(a^2(1+b^2)+b^2(1+c^2)+c^2(1+a^2)\geq 6abc\)
Áp dụng BĐT AM-GM cho các số không âm:
\(\text{VT}=a^2+a^2b^2+b^2+b^2c^2+c^2+c^2a^2\geq 6\sqrt[6]{a^2.a^2b^2.b^2.b^2c^2.c^2.c^2a^2}\)
\(\Leftrightarrow \text{VT}\geq 6\sqrt[6]{a^6b^6c^6}=6|abc|\geq 6abc\)
Ta có đpcm
Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=1\)
LT
1
26 tháng 3 2017
\(\left(a^2+b^2\right)\left(a^2+1\right)\ge4a^2b\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2+b^2\right)\left(a^2+1\right)-4a^2b\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^4+a^2+a^2b^2+b^2-4a^2b\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left[\left(a^2\right)^2-2a^2b+b^2\right]+\left[a^2-2.a.ab+\left(ab\right)^2\right]\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-b\right)^2+\left(a^2-ab\right)^2\ge0\) là BĐT đúng
\(\Rightarrow\left(a^2+b^2\right)\left(a^2+1\right)\ge4a^2b\) đúng (ĐPCM)
5 tháng 2 2018
a) Áp dụng bất đẳng thức AM-GM :
\(\left(a^2+b^2\right)\left(a^2+1\right)\ge2\sqrt{a^2b^2}.2\sqrt{a^2}\ge2ab.2a=4a^2b\)
b) Áp dụng bất đẳng thức :\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\forall x;y>0\)
\(\frac{1}{a+3b}+\frac{1}{b+2c+a}\ge\frac{4}{a+3b+b+2c+a}=\frac{4}{2a+4b+2c}=\frac{2}{a+2b+c}\)
Tương tự \(\hept{\begin{cases}\frac{1}{b+3c}+\frac{1}{c+2a+b}\ge\frac{2}{b+2c+a}\\\frac{1}{c+3a}+\frac{1}{a+2b+c}\ge\frac{2}{b+2a+c}\end{cases}}\)
Cộng vế với vế ta được : \(VT+VP\ge2VP\Rightarrow VT\ge VP\)(đpcm)
DH
31 tháng 1 2020
\(a,\) Ta có: \(S=\frac{ab\left(a-b\right)-bc\left(c-b\right)+ac\left(c-a\right)}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}\)
Xét tử thức ta có: \(ab\left(a-b\right)-bc\left(c-b\right)+ac\left(c-a\right)\)
\(=ab\left(a-b\right)-bc\left[\left(c-a\right)+\left(a-b\right)\right]+ac\left(c-a\right)\)
\(=ab\left(a-b\right)-bc\left(c-a\right)-bc\left(a-b\right)+ac\left(c-a\right)\)
\(=-b\left(a-b\right)\left(c-a\right)+c\left(a-b\right)\left(c-a\right)\)
\(=\left(a-b\right)\left(c-b\right)\left(c-a\right)\)
\(=-\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)\)
Vậy \(S=\frac{-\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}=-1\)
Vậy .......
\(b,a^4+3\ge4a\)
\(\Leftrightarrow a^4-2a^2+1+2a^2-4a+2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-1\right)^2+2\left(a-1\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)^2\left[\left(a+1\right)^2+2\right]\ge0\left(Luôn-đúng-\forall a\right)\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a=1\)
22 tháng 12 2017
\(a\left(b-c\right)\left(b+c-a\right)^2+c\left(a-b\right)\left(a+b-c\right)^2=\)\(b\left(a-c\right)\left(a+c-b\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\)\(a\left(b-c\right)\left(b+c-a\right)^2+c\left(a-b\right)\left(a+b-c\right)^2-b\left(a-c\right)\left(a+c-b\right)^2=0\)
Đặt:
\(\begin{cases}a+b-c=x\\b+c-a=y\\a+c-b=z\end{cases}\)\(\hept{\Leftrightarrow\begin{cases}a=\frac{x+z}{2}\\b=\frac{x+y}{2}\\c=\frac{y+z}{2}\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\)\(\frac{x+z}{2}\left(\frac{x+y}{2}-\frac{y+z}{2}\right)y^2+\frac{y+z}{2}\left(\frac{x+z}{2}-\frac{x+y}{2}\right)x^2-\frac{x+y}{2}\left(\frac{x+z}{2}-\frac{y+z}{2}\right)z^2=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{x+z}{2}\times\frac{x-z}{2}\times y^2+\frac{z+y}{2}\times\frac{z-y}{2}\times x^2-\frac{x+y}{2}\times\frac{x-y}{2}\times z^2=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{4}\left(x+z\right)\left(x-z\right)y^2+\frac{1}{4}\left(z+y\right)\left(z-y\right)x^2-\frac{1}{4}\left(x+y\right)\left(x-y\right)z^2=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{4}\left[\left(x^2-z^2\right)y^2+\left(z^2-y^2\right)x^2\right]-\frac{1}{4}\left(x^2-y^2\right)z^2=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{4}\left(x^2y^2-z^2y^2+x^2z^2-x^2y^2\right)-\frac{1}{4}\left(x^2-y^2\right)z^2=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{4}\left(x^2-y^2\right)z^2-\frac{1}{4}\left(x^2-y^2\right)z^2=0\)
Vậy \(a\left(b-c\right)\left(b+c-a\right)^2+c\left(a-b\right)\left(a+b-c\right)^2=\)\(b\left(a-c\right)\left(a+c-b\right)^2\)
13 tháng 1 2018
vế trái
(a+b)(b+c)(c+a)+4abc
=(ab+ac+b2+bc)(c+a)+4abc
=abc+ac2+b2c+bc2+a2b+a2c+abc+4abc
=(a2c+2abc+b2c)+(ab2+2abc+ac2)+(ba2+2abc+bc2)
=c(a2+2ab+b2)+a(b2+2bc+c2)+b(a2+2ac+c2)
=c(a+b)2+a(b+c)2+b(a+c)2 (đpcm)
14 tháng 5 2017
VP = \(\dfrac{\left(a-b\right)^2}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}+\dfrac{\left(b-c\right)^2}{\left(b+a\right)\left(c+a\right)}+\dfrac{\left(c-a\right)^2}{\left(c+b\right)\left(a+b\right)}\)
\(=\left(a-b\right).\dfrac{\left(a+c\right)-\left(b+c\right)}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}+\left(b-c\right).\dfrac{\left(b+a\right)-\left(c+a\right)}{\left(b+a\right)\left(c+a\right)}+\left(c-b\right).\dfrac{\left(c+b\right)-\left(a+b\right)}{\left(c+b\right)\left(a+b\right)}\)
\(=\left(a-b\right).\left(\dfrac{1}{b+c}-\dfrac{1}{a+c}\right)+\left(b-c\right)\left(\dfrac{1}{c+a}-\dfrac{1}{b+a}\right)+\left(c-a\right).\left(\dfrac{1}{a+b}-\dfrac{1}{c+b}\right)\)
\(=\left(a-b\right).\dfrac{1}{b+c}-\left(a-b\right).\dfrac{1}{a+c}+\left(b-c\right).\dfrac{1}{c+a}-\left(b-c\right).\dfrac{1}{b+a}+\left(c-a\right).\dfrac{1}{a+b}-\left(c-a\right).\dfrac{1}{c+b}\)
\(=\left(2a-b-c\right).\dfrac{1}{b+c}+\left(2b-c-a\right).\dfrac{1}{c+a}+\left(2c-a-b\right).\dfrac{1}{a+b}\)
\(=\dfrac{2a}{b+c}-\left(b+c\right).\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{2b}{c+a}-\left(c+a\right).\dfrac{1}{c+a}+\dfrac{2c}{a+b}-\left(a+b\right).\dfrac{1}{a+b}\)
\(=2\left(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\right)-3\left(đpcm\right)\)
Q
15 tháng 5 2017
\(VT=\dfrac{2a^3-a^2b-a^2c-ab^2-ac^2+2b^3-b^2c-bc^2+2c^3}{(a+b)(b+c)(c+a)} \)
\(\\=\dfrac{a^3+a^2b-2a^2b-2ab^2+ab^2+b^3+b^3+b^2c-2b^2c-2bc^2+bc^2+c^3+c^3+c^2a-2c^a+2ca^2-ca^2+a^3}{(a+b)(b+c)(c+a)}\)
\(\\=\dfrac{(a-b)^2(a+b)+(b-c)^2(b+c)+(c-a)^2(c+a)}{(a+b)(b+c)(c+a)}\)
\(\\\Rightarrow VT=\dfrac{(a-b)^2}{(c+a)(b+c)}+\dfrac{(b-c)^2}{(c+a)(a+b)}+\dfrac{(c-a)^2}{(a+b)(b+c)}=VP\)
Với a;b;c không âm?
\(\left(a+b+c\right)^2=\left[a+\left(b+c\right)\right]^2\ge4a\left(b+c\right)\)
Ta sẽ cm \(4a\left(b+c\right)\ge4a\left(b-c\right)\Leftrightarrow4ac\ge-4ac\) (đúng với a;b;c không âm)
Dấu "=" xảy ra khi a;b không âm bất kì và c=0
no biết