Question

[Tiêu Thị Anh Thư]

Cho đường tròn (O;R) và một dây AB, trên tia BA lấy điểm C sao cho C nằm ngoài đường tròn. Từ điểm chính giữa P của cung lớn AB kẻ đường kính PQ của đường tròn cắt dây AB tại D. Tia CP cắt đường tròn tại I. Các dây AB và QI cắt nhau tại K

a) Chứng minh tứ giác PDKI nội tiếp

b) Chứng minh IQ là tia phân giác của góc AIB

c) Cho biết R = 5cm, góc AOQ =45° , tính độ dài của cung AQB

d) Chứng minh CK.CD=CA.CB

Answer 1

[Bui Huyen]

Bạn tự vẽ hình nha ^-^

a) Xét tứ giác PDKI có PDK=PIK=90

mà 2 góc này ở vị trí đối nhau nên tứ giác PDKI là tứ giác nội tiếp

b)ta thấy : AIQ=1/2 cung AQ

                 BIQ=1/2 cung QB

mà cung QA=cung QB(gt)

nên IQ là phân giác của AIB

c)

AOQ=45 độ nên sđ cung AQ =45 độ

mà cung AQ= cung QB =45 độ

vậy sđ cung AQB= sđ cung AQ+sđ cung QB=90

d)

Xét tam giác CKI và CPD có

PCD chung 

CIK =CDP=90

nên CKI đồng dạng với CPD

vậy \(\frac{CK}{CP}=\frac{CI}{CP}\Leftrightarrow CD\cdot CK=CI\cdot CP\)(CẶP CẠNH TƯƠNG ỨNG)

xét tam giác CAP và CIB có:

PAB chung 

APC=CBI(góc nội tiếp cùng chắn cung AI)

nên CAP đồng dạng với CIB 

vậy\(\frac{CA}{CI}=\frac{CP}{CB}\Leftrightarrow CA\cdot CB=CI\cdot CP\)

\(\Rightarrow CA\cdot CB=CD\cdot CK\left(=CP\cdot CI\right)\)