Question

[Đặng Hoàng Mỹ Anh]

Cho ABCD là một hình vuông, M là trung điểm của AD và MN vuông góc với AC. Tỷ lệ diện tích của tam giác MNC với diện tích của hình vuông là bao nhiêu?

Answer 1

[Nguyễn Tất Đạt]

Nối D với N.

Do tứ giác ABCD là hình vuông => ^DAC = 45⁰ hay ^MAN = 45⁰

Xét \(\Delta\)AMN: ^ANM = 90⁰; ^MAN = 45⁰ => \(\Delta\)AMN vuông cân tại N \(\Rightarrow S_{AMN}=\frac{AM^2}{4}\). 

Ta có: S_AMN = S_DMN (Chung chiều cao và có 2 đáy bằng nhau) \(\Rightarrow S_{AND}=2.S_{AMN}=\frac{AM^2}{2}=\frac{\left(\frac{1}{2}AD\right)^2}{2}=\frac{AD^2}{8}=\frac{S_{ADC}}{4}\)

Ta thấy \(\Delta\)AND và \(\Delta\)ADC chung chiều cao hạ từ D và S_AND = 1/4.S_ADC => AN=1/4.AC

=> CN = 3/4.AC.

Lại có: \(S_{MNC}=\frac{MN.CN}{2}=\frac{AN.CN}{2}=\frac{3}{16}.AC^2\)(Do MN=AN)

Mà \(S_{ABCD}=\frac{AC^2}{2}\Rightarrow S_{MNC}=\frac{3}{8}.\frac{AC^2}{2}=\frac{3}{8}.S_{ABCD}\)

Vậy \(\frac{S_{MNC}}{S_{ABCD}}=\frac{3}{8}.\)

Answer 2

[Doraemon]

Nối D với N, ta có hình vẽ:

Do tứ giác ABCD là hình vuông \(\Rightarrow\widehat{DAC}=45^o\)hay \(\widehat{MAN}=45^o\)

Xét \(\Delta AMN\): \(\widehat{ANM}=90^o;\widehat{MAN}=45^o\Rightarrow\Delta AMN\)vuông cân tại \(N\Rightarrow S_{AMN}=\frac{AM^2}{4}\)

Ta có: \(S_{AMN}=S_{DMN}\) (Chung chiều cao và có hai đáy bằng nhau)

\(\Rightarrow S_{AND}=2.S_{AMN}=\frac{AM^2}{2}=\frac{\left(\frac{1}{2}AD\right)^2}{2}=\frac{AD^2}{8}=\frac{S_{ADC}}{4}\)

Ta thấy \(\Delta AND\)và \(\Delta ADC\)chung chiều cao hạ từ D và \(S_{AND}=\frac{1}{4}.S_{ADC}\Rightarrow AN=\frac{1}{4}.AC\)

\(\Rightarrow CN=\frac{3}{4}.AC\)

Lại có: \(S_{MNC}=\frac{MN.CN}{2}=\frac{AN.CN}{2}=\frac{3}{16}.AC^2\)(Do MN = AN)

Mà \(S_{ABCD}=\frac{AC^2}{2}\Rightarrow S_{MNC}=\frac{3}{8}.\frac{AC^2}{2}=\frac{3}{8}.S_{ABCD}\)

Vậy \(\frac{S_{MNC}}{S_{ABCD}}=\frac{3}{8}\)