Question

[Bui Cam Lan Bui]

Tìm đa thức bậc hai sao cho f(x)-f(x-1)=x

Áp dụng tính tổng S=1+2+3+4+...+n

Answer 1

[Trần Thị Loan]

f(x) là đa thức bậc hai nên đặt f(x) = ax² + bx + c

=> f(x - 1) = a(x - 1)² + b(x - 1) + c 

=> f(x) - f(x - 1) = a.[x² - (x - 1)²] + b[x - (x - 1)] = a.(2x - 1) + b = 2ax + (b - a) 

Để f(x) - f(x - 1) = x thì 2ax + (b - a) = x <=> 2a = 1 và b - a = 0 => a = b = 1/2. Chọn c tùy ý

Chọn c = 0 , Vậy đa thức f(x) = \(\frac{x^2+x}{2}=\frac{x\left(x+1\right)}{2}\)

Áp dụng tính S: Đặt f(n) = \(\frac{n\left(n+1\right)}{2}\) ta có: 

1 = f(1) - f(0); 2= f(2) - f(1); ...; n = f(n) - f(n - 1)

=> S = 1 + 2 + ...+ n = f(1) - f(0) + f(2) - f(1) + ...+ f(n) - f(n - 1) = [f(1) + f(2) + ....+ f(n)] - [f(0) + f(1) + ...+ f(n-1)]

S = f(n) - f(0) = \(\frac{n\left(n+1\right)}{2}\)

Vậy.............

Answer 2

[Carthrine]

xét f(x)=ax^2 cộg bx cộg c 
f(x)-f(x-1)=x 
<=>2ax-(a-b)=x 
vì phân tích trên là duy nhất suy ra a=b=1/2 
nên f(x)=(x^2 cộng x)/2 cộg c (c là hằg số) 
cho x=0,1,2,...n rồi cộng lại ta đc: 
f(n)-f(0)=1 cộng 2 cộng...cộg n 
<=>(x^2 cộg x)/2=1 cộg 2 cộg...cộng n. 

lưu ý:từ bài này ta có thể suy ra cách tính tổng của một số dãy số.