Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
nhờ mn giúp mk bài này vs ạ
mk đang cần gấp !
cảm ơn mn nhiều
Đặt \(\left(\sqrt[3]{x};\sqrt[3]{y};\sqrt[3]{z}\right)=\left(a;b;c\right)\) \(\Rightarrow a^6+b^6+c^6=3\)
\(a^6+a^6+a^6+a^6+a^6+1\ge6a^5\)
Tương tự: \(5b^6+1\ge6b^5\) ; \(5c^6+1\ge6c^5\)
Cộng vế với vế: \(18=5\left(a^6+b^6+c^6\right)+3\ge6\left(a^5+b^5+c^5\right)\)
\(\Rightarrow3\ge a^5+b^6+b^5\)
BĐT cần chứng minh: \(\dfrac{a^3}{bc}+\dfrac{b^3}{ca}+\dfrac{c^3}{ab}\ge a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3\)
Ta có:
\(\dfrac{a^3}{bc}+\dfrac{b^3}{ca}+\dfrac{c^3}{ab}\ge\dfrac{ab}{c}+\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ca}{b}\ge a+b+c\) (1)
Mà \(3\left(a+b+c\right)\ge\left(a^5+b^5+c^5\right)\left(a+b+c\right)\ge\left(a^3+b^3+c^3\right)^2\ge3\left(a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3\right)\)
\(\Rightarrow a+b+c\ge a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3\) (2)
Từ (1);(2) \(\Rightarrow\) đpcm
Làm chi mà khó hiểu thế. Làm lại bài của Thắng Nguyễn cho dễ hiểu.
\(P=\left(\frac{1}{x}+\frac{2}{y}+\frac{5}{z}\right)\sqrt{xy+yz+zx}\)
\(\Leftrightarrow P^2=\left(\frac{1}{x}+\frac{2}{y}+\frac{5}{z}\right)^2.\left(xy+yz+zx\right)\)
Đặt \(\hept{\begin{cases}x=\frac{a}{3}\\y=\frac{b}{2}\\z=c\end{cases}}\)thì ta có
\(P^2=\left(\frac{3}{a}+\frac{4}{b}+\frac{5}{c}\right)^2.\left(\frac{ab}{6}+\frac{bc}{2}+\frac{ca}{3}\right)\)
\(=\frac{1}{12}\left(\frac{3}{a}+\frac{4}{b}+\frac{5}{c}\right)^2.\left(2ab+6bc+4ca\right)\)
Ta có: \(\frac{3}{a}+\frac{4}{b}+\frac{5}{c}=\frac{1}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{c}+\frac{1}{c}+\frac{1}{c}+\frac{1}{c}\ge12.\sqrt[12]{\frac{1}{a^3.b^4.c^5}}\)
\(\Rightarrow\left(\frac{3}{a}+\frac{4}{b}+\frac{5}{c}\right)^2\ge12^2.\sqrt[12]{\frac{1}{a^6.b^8.c^{10}}}\)
Ta lại có: \(2ab+6bc+4ca\ge12.\sqrt[12]{\left(ab\right)^2.\left(bc\right)^6.\left(ca\right)^4}=12.\sqrt[12]{a^6.b^8.c^{10}}\)(tách y hệt cái trên)
Từ đây ta có: \(P^2\ge\frac{1}{12}.12^2.\sqrt[12]{\frac{1}{a^6.b^8.c^{10}}}.12\sqrt[12]{a^6.b^8.c^{10}}=12^2\)
\(\Rightarrow P\ge12\)
Dấu = xảy ra khi a = b = c hay z = 2y = 3x
đề? \(\left(\frac{1}{x}+\frac{2}{y}+\frac{5}{z}\right)\sqrt{xy+yz+xz}\)
Ta thấy
72
=
2
3
.
3
2
72=2
3
.3
2
nên a, b có dạng
{
�
=
2
�
3
�
�
=
2
�
.
3
�
{
a=2
x
3
y
b=2
z
.3
t
với
�
,
�
,
�
,
�
∈
N
x,y,z,t∈N và
�
�
�
{
�
,
�
}
=
3
;
�
�
�
{
�
,
�
}
=
2
max{x,z}=3;max{y,t}=2.
Theo đề bài, ta có
2
�
.
3
�
+
2
�
.
3
�
=
42
2
x
.3
y
+2
z
.3
t
=42
⇔
2
�
−
1
.
3
�
−
1
+
2
�
−
1
3
�
−
1
=
7
⇔2
x−1
.3
y−1
+2
z−1
3
t−1
=7 (*), do đó
�
,
�
,
�
,
�
≥
1
x,y,z,t≥1
TH1:
�
≥
�
,
�
≤
�
x≥z,y≤t. Khi đó
�
=
3
,
�
=
2
x=3,t=2. (*) thành:
4.
3
�
−
1
+
3.
2
�
−
1
=
7
4.3
y−1
+3.2
z−1
=7
⇔
�
=
�
=
1
⇔y=z=1
Vậy
{
�
=
24
�
=
18
{
a=24
b=18
(nhận)
TH2: KMTQ thì giả sử
�
≥
�
,
�
≥
�
x≥z,y≥t. Khi đó
�
=
3
,
�
=
2
x=3,z=2. (*) thành
4.
3
�
−
1
+
2.
3
�
−
1
=
7
4.3
y−1
+2.3
t−1
=7, điều này là vô lí.
Vậy
(
�
,
�
)
=
(
24
,
18
)
(a,b)=(24,18) hay
(
18
,
24
)
(18,24) là cặp số duy nhất thỏa yêu cầu bài toán.