Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Xét hàm số g(x) = f(x) − f(x + 0,5)
Ta có
g(0) = f(0) − f(0 + 0,5) = f(0) − f(0,5)
g(0,5) = f(0,5) − f(0,5 + 0,5) = f(0,5) − f(1) = f(0,5) − f(0)
(vì theo giả thiết f(0) = f(1)).
Do đó,
g ( 0 ) . g ( 0 , 5 ) = [ f ( 0 ) − f ( 0 , 5 ) ] . [ f ( 0 , 5 ) − f ( 0 ) ] = − f ( 0 ) − f ( 0 , 5 ) 2 ≤ 0 .
- Nếu g(0).g(0,5) = 0 thì x = 0 hay x=0,5 là nghiệm của phương trình g(x) = 0
- Nếu g(0).g(0,5) < 0 (1)
Vì y = f(x) và y = f(x + 0,5) đều liên tục trên đoạn [0; 1] nên hàm số y = g(x) cũng liên tục trên [0; 1] và do đó nó liên tục trên [0; 0,5] (2)
Từ (1) và (2) suy ra phương trình g(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng
Kết luận : Phương trình g(x) = 0 hay f(x) − f(x + 0,5) = 0 luôn có nghiệm trong đoạn (0;0,5)
Đề bài sai, ví dụ: với \(a=b=1\) thì \(x^2+x-1=0\) có 1 nghiệm thuộc \(\left(0;1\right)\) thỏa mãn yêu cầu
Nhưng \(x^2-2x+1=0\) có nghiệm kép, không phải hai nghiệm phân biệt
Đặt \(f\left(x\right)=ax^2+bx+c\)
Hàm f(x) liên tục trên R
Ta có: \(f\left(1\right)=a+b+c\) ; \(f\left(\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{a}{4}+\dfrac{b}{2}+c\)
\(\Rightarrow f\left(1\right)+f\left(\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{5a}{4}+\dfrac{3b}{2}+2c=0\)
\(\Rightarrow f\left(1\right)=-f\left(\dfrac{1}{2}\right)\)
\(\Rightarrow f\left(1\right).f\left(\dfrac{1}{2}\right)=-\left[f\left(1\right)\right]^2\le0\)
\(\Rightarrow f\left(x\right)\) luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left[\dfrac{1}{2};1\right]\) hay pt đã cho luôn có nghiệm
Đặt \(g\left(x\right)=f\left(x+\dfrac{1}{3}\right)-f\left(x\right)\)
Hiển nhiên \(g\left(x\right)\) cũng liên tục trên R
Ta có: \(g\left(0\right)=f\left(\dfrac{1}{3}\right)-f\left(0\right)\)
\(g\left(\dfrac{2}{3}\right)=f\left(1\right)-f\left(\dfrac{2}{3}\right)\)
\(g\left(\dfrac{1}{3}\right)=f\left(\dfrac{2}{3}\right)-f\left(\dfrac{1}{3}\right)\)
Cộng vế với vế:
\(g\left(0\right)+g\left(\dfrac{1}{3}\right)+g\left(\dfrac{2}{3}\right)=f\left(1\right)-f\left(0\right)=0\)
- Nếu tồn tại 1 trong 3 giá trị \(g\left(0\right);g\left(\dfrac{1}{3}\right);g\left(\dfrac{2}{3}\right)\) bằng 0 thì hiển nhiên pt có nghiệm
- Nếu cả 3 giá trị đều khác 0 \(\Rightarrow\) tồn tại ít nhất 2 trong 3 giá trị \(g\left(0\right)\) ; \(g\left(\dfrac{1}{3}\right)\) ; \(g\left(\dfrac{2}{3}\right)\) trái dấu
\(\Rightarrow\) Luôn tồn tại ít nhất 1 trong 3 tích số: \(g\left(0\right).g\left(\dfrac{1}{3}\right)\) ; \(g\left(0\right).g\left(\dfrac{2}{3}\right)\) ; \(g\left(\dfrac{1}{3}\right).g\left(\dfrac{2}{3}\right)\) âm
\(\Rightarrow\) Pt \(g\left(x\right)=0\) luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left[0;1\right]\)
thôi để giải luôn
Xét phương trình: \(x^3+ax^2+bx+c=0\left(1\right)\)
Đặt : \(f\left(x\right)=x^3+2x^2+bc+c\)
Từ giả thiết \(\left\{{}\begin{matrix}4a+c>8+2b\Rightarrow-8+4a-2b+c>0\Rightarrow f\left(-2\right)>0\\a+b+c< -1\Rightarrow1+a+b+c< 0\Rightarrow f\left(1\right)< 0\end{matrix}\right.\)
Do đó \(f\left(-2\right).f\left(1\right)< 0\) nên pt (1) có ít nhất một nghiệm trong \(\left(-2;1\right)\)
Ta nhận thấy:
\(\overset{lim}{x\rightarrow-\infty}f\left(x\right)=-\infty\) mà \(f\left(-2\right)>0\) nên phương trình (1) có ít nhất một nghiệm \(\alpha\in\left(-\infty;-2\right)\)
Tương tự: \(\overset{lim}{x\rightarrow+\infty}f\left(x\right)=+\infty\) mà \(f\left(1\right)< 0\) nên phương trình (1) có ít nhất một nghiệm \(\beta\in\left(1+\infty\right)\)
Như vậy phương trình đã cho có ít nhất 3 nghiệm thực phân biệt, mặt khác phương trình bậc 3 có tối đa 3 nghiệm nên pt trên sẽ có 3 nghiệm thực phân biệt.
Tham khảo:
Xét hàm số g(x) = f(x) − f(x + 0,5)
Ta có
g(0) = f(0) − f(0 + 0,5) = f(0) − f(0,5)
g(0,5) = f(0,5) − f(0,5 + 0,5) = f(0,5) − f(1) = f(0,5) − f(0)
(vì theo giả thiết f(0) = f(1)).
Do đó,
