K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

26 tháng 3 2018

Đầu tiên ta sẽ chứng minh \(\frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{a+b}\left(1\right)\)

\(\Leftrightarrow x^2b\left(a+b\right)+y^2a\left(a+b\right)\ge ab\left(x+y\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\left(bx-ay\right)^2\ge0\left(LĐ\right)\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\frac{x}{a}=\frac{y}{b}\)

Vậy BĐT (1) đã được chứng minh

Với 6 số x,y,z,a,b,c >0 ta sẽ áp dụng BĐT (1) hai lần:

\(\frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b}+\frac{z^2}{c}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{a+b}+\frac{z^2}{c}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{a+b+c}\left(đpcm\right)\)

22 tháng 7 2020

Bài làm:

Áp dụng Cauchy Schwars ta có:

\(\frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b}+\frac{z^2}{c}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{a+b+c}\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}\)

1 tháng 3 2017

đây là BĐT Cauchy-Schwar dạng Engel cho 3 số, cách c/m tổng quát ở đây 12 cách chứng minh bất đẳng thức Bunyakovsky Cauchy Schwarz – Math2IT

NV
17 tháng 6 2020

\(P=\frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{2009}{xy+yz+zx}=\frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{1}{xy+yz+zx}+\frac{1}{xy+yz+zx}+\frac{2007}{xy+yz+zx}\)

\(P\ge\frac{9}{x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx}+\frac{2007}{\frac{1}{3}\left(x+y+z\right)^2}\)

\(P\ge\frac{9}{\left(x+y+z\right)^2}+\frac{6021}{\left(x+y+z\right)^2}=\frac{6030}{\left(x+y+z\right)^2}\ge\frac{6030}{3^2}=670\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\)

16 tháng 6 2020

Áp dụng BĐT Côsi dưới dạng engel, ta có:

\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{x+y+z}=\frac{9}{x+y+z}\)

\(\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\left(x+y+z\right)\ge\left(x+y+z\right).\frac{9}{x+y+z}\) = 9

Dấu "=" xảy ra ⇔ x = y = z

25 tháng 1 2017

\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\)

\(\frac{yz}{xyz}+\frac{xz}{xyz}+\frac{xy}{xyz}=0\)

\(\frac{yz+xz+xy}{xyz}=0\)

yz + xz + xy = 0

\(\left(x+y+z\right)^2=x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz=x^2+y^2+z^2+2\times\left(xy+xz+yz\right)=x^2+y^2+z^2+2\times0=x^2+y^2+z^2\left(\text{đ}pcm\right)\)

25 tháng 1 2017

a) Từ giả thiết suy ra: xy + yz + zx = 0

Do đó:

\(\left(x+y+z\right)^2=x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zx\right)=x^2+y^2+z^2\)

b) Đặt \(\frac{1}{a-b}=x\); \(\frac{1}{b-c}=y\); \(\frac{1}{c-a}=z\)

Ta có: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=a-b+b-c+c-a=0\)

Theo câu a ta có: \(x^2+y^2+z^2=\left(x+y+z\right)^2\)

Suy ra điều phải chứng minh

NV
7 tháng 6 2020

Điều kiện là a;b;c dương:

Trước hết ta chứng minh: \(\frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{a+b}\)

Thật vậy, BĐT tương đương:

\(\left(bx^2+ay^2\right)\left(a+b\right)\ge ab\left(x^2+2xy+y^2\right)\)

\(\Leftrightarrow abx^2+aby^2+b^2x^2+a^2y^2\ge abx^2+aby^2+2abxy\)

\(\Leftrightarrow b^2x^2+a^2y^2-2abxy\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(bx-ay\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

Do đó:

\(\frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b}+\frac{z^2}{c}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{a+b}+\frac{z^2}{c}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{a+b+c}\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}\)

29 tháng 11 2019

mik đag cần gấp các bn giải nhanh dùm mik nha

27 tháng 5 2017

Nhân cả 2 vế với a+b+c 

Chứng minh \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\) tương tự với \(\frac{b}{c}+\frac{c}{b};\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\)

\(\Leftrightarrow\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2\ge0\Leftrightarrow\frac{a^2-2ab+b^2}{ab}\ge0\Leftrightarrow\frac{\left(a-b\right)^2}{ab}\ge0\)luôn đúng do a;b>0

dễ rồi nhé

27 tháng 5 2017

b) \(P=\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1}\)

\(P=\left(\frac{x+1}{x+1}+\frac{y+1}{y+1}+\frac{z+1}{z+1}\right)-\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\right)\)

\(P=\left(1+1+1\right)-\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\right)\)

\(P=3-\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\right)\)

Áp dụng bđt Cauchy Schwarz dạng Engel (mình nói bđt như vậy,chỗ này bạn cứ nói theo cái bđt đề bài cho đi) ta được: 

\(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{x+1+y+1+z+1}=\frac{9}{4}\)

=>\(P=3-\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\right)\le3-\frac{9}{4}=\frac{3}{4}\)

=>Pmax=3/4 <=> x=y=z=1/3

9 tháng 7 2018

Áp dụng BĐT Cosi dạng engel cho 3 số dương ta có:

\(\frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b}+\frac{z^2}{c}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{a+b+c}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}\)

9 tháng 7 2018

Ta thấy \(\frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b}+\frac{z^2}{c}\)đều là số dương

Vì thế nên ta sẽ áp dụng bđt cô-si dạng engel:

\(\frac{x^2+y^2+z^2}{a+b+c}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{a+b+c}\)

Vậy đẳng thức chỉ xảy ra khi \(\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}\)

25 tháng 4 2019

Đây là bất đẳng thức Cauchy Schwarz dạng Engel

Bạn có thể xem chi tiết tại Ứng dụng bất đẳng thức cauchy–schwarz dạng engel trong chứng minh bất đẳng thức - Giáo Án Điện Tử

Chứng minh :

Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức Cauchy Schwarz dạng Engel cho 2 số :

\(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{x+y}\)(*)

\(\Leftrightarrow\frac{a^2y+b^2x}{xy}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{x+y}\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(a^2y+b^2x\right)\ge xy\left(a+b\right)^2\)

\(\Leftrightarrow a^2xy+b^2x^2+a^2y^2+b^2xy\ge xy\left(a^2+2ab+b^2\right)\)

\(\Leftrightarrow a^2xy+b^2x^2+a^2y^2+b^2xy\ge a^2xy+2abxy+b^2xy\)

\(\Leftrightarrow b^2x^2-2abxy+a^2y^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(ay-bx\right)^2\ge0\)( luôn đúng )

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\frac{a}{x}=\frac{b}{y}\)

Áp dụng chứng minh bđt Cauchy Schwarz dạng Engel cho 3 số :

\(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{x+y}+\frac{c^2}{z}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{x+y+z}\)( đpcm )

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}\)

25 tháng 4 2019

Dùng Bunhiacopxki cũng hay =))

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:

\(\left[\left(\frac{a}{\sqrt{x}}\right)^2+\left(\frac{b}{\sqrt{y}}\right)^2+\left(\frac{c}{\sqrt{z}}\right)^2\right].\left[\left(\sqrt{x}\right)^2+\left(\sqrt{y}\right)^2+\left(\sqrt{z}\right)^2\right]\ge\left(a+b+c\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}\right)\left(x+y+z\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\)\(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{x+y+z}\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}\)

12 tháng 2 2017

Câu 1, Quy đồng mẫu của 2 về lấy MTC là (x-y)(y-z)(z-x).

Câu 2, Chỉ có thể xảy ra khi a+b+c=x+y+z=x/a+y/b+z/c=0