Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Trước tiên chứng minh:
\(a^4+b^4\ge a^3b+ab^3\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\)(đúng)
\(\Rightarrow2\left(a^4+b^4\right)\ge a^4+b^4+a^3b+ab^3=\left(a+b\right)\left(a^3+b^3\right)\)
Áp dụng bài toán được
\(P=\frac{x^4+y^4}{x^3+y^3}+\frac{y^4+z^4}{y^3+z^3}+\frac{z^4+x^4}{z^3+x^3}\)
\(\ge\frac{1}{2}\left(x+y+y+z+z+x\right)=x+z+y=2018\)
Ta có:
\(x^4+y^4\ge x^3y+xy^3\Rightarrow2\left(x^4+y^4\right)\ge x^4+y^4+x^3y+xy^3=\left(x^3+y^3\right)\left(x+y\right)\)
\(\Rightarrow\frac{x^4+y^4}{x^3+y^3}\ge\frac{x+y}{2}\)
Σ\(\frac{x^4+y^4}{x^3+y^3}\)\(\ge x+y+z=2008\)
Trước hết ta sẽ chứng minh bổ đề phụ sau, với mọi a,b dương ta có:
\(2\left(a^4+b^4\right)\ge\left(a+b\right)\left(a^3+b^3\right)\)
Thật vậy biến đổi tương đương ta đưa về \(\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)=0\)
BĐT này luôn đúng, thế thì
\(2\left(a^4+b^4\right)\ge\left(a+b\right)\left(a^3+b^3\right)\)
\(\Rightarrow\left(a^4+b^4\right)\ge\frac{\left(a+b\right)\left(a^3+b^3\right)}{2}\)
\(\frac{a^4+b^4}{a^3+b^3}\ge\frac{a+b}{2}\)
Như vậy ta có:
\(\hept{\begin{cases}\frac{x^4+y^4}{x^3+y^3}\ge\frac{x+y}{2}\\\frac{y^4+z^4}{y^3+z^3}\ge\frac{y+z}{2}\\\frac{z^4+x^4}{z^3+x^3}\ge\frac{z+x}{2}\end{cases}}\)
\(\frac{x^4+y^4}{x^3+y^3}+\frac{y^4+z^4}{y^3+z^3}+\frac{z^4+x^4}{z^3+x^3}\ge\frac{x+y}{2}+\frac{y+z}{2}+\frac{z+x}{2}=1\)
Dấu '=' xảy ra khi x=y=z=1/3
Đặng Ngọc Quỳnh không cần a,b rồi suy ra x,y, quá lòng vòng
Bạn tham khảo cách làm tại đây
Câu hỏi của Pham Quoc Cuong - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath
Chỉ tìm được min với điều kiện \(x;y;z\) dương, bất kì thì chịu
Áp dụng BĐT \(\frac{a^n+b^n}{a^{n-1}+b^{n-1}}\ge\frac{a^{n-1}+b^{n-1}}{a^{n-2}+b^{n-2}}\) ta được:
\(P=\frac{x^4+y^4}{x^3+y^3}+\frac{z^4+y^4}{z^3+y^3}+\frac{x^4+z^4}{x^3+z^3}\ge\frac{x^3+y^3}{x^2+y^2}+\frac{z^3+y^3}{z^2+y^2}+\frac{x^3+z^3}{x^2+y^2}\)
\(P\ge\frac{x^2+y^2}{x+y}+\frac{z^2+y^2}{z+y}+\frac{x^2+z^2}{x+z}\ge\frac{x+y}{2}+\frac{z+y}{2}+\frac{x+z}{2}=x+y+z=2017\)
\(\Rightarrow P_{min}=2017\) khi \(x=y=z=\frac{2017}{3}\)
Xét \(4\left(x^3+y^3\right)-\left(x+y\right)^3=3\left(x+y\right)\left(x-y\right)^2\ge0\) (Vì x,y > 0)
Suy ra \(z+\sqrt[3]{4\left(x^3+y^3\right)}\ge x+y+z\)
Hay \(\frac{x+y}{z+\sqrt[3]{4\left(x^3+y^3\right)}}\le\frac{x+y}{x+y+z}\)
Tương tự : \(\frac{y+z}{x+\sqrt[3]{4\left(y^3+z^3\right)}}\le\frac{y+z}{x+y+z}\)
\(\frac{z+x}{y+\sqrt[3]{4\left(z^3+x^3\right)}}\le\frac{z+x}{x+y+z}\)
Cộng theo vế được đpcm.
Ta chứng minh \(\frac{x^4+y^4}{x^2+y^2}\ge\frac{\frac{\left(x^2+y^2\right)^2}{2}}{x^2+y^2}=\frac{x^2+y^2}{2}\)
Tương tự và cộng lại
\(\Rightarrow VT\ge x^2+y^2+z^2\ge xy+xz+yz=3\)
Bdt phu \(\frac{a^{n+2}+b^{n+2}}{a^{n+1}+b^{n+1}}\ge\frac{a^{n+1}+b^{n+1}}{a^n+b^n}\)
cai nay ban tu chung minh nha , nhan cheo rut gon la ra
dau = khi a=b
Ap dung ta co \(\frac{x^4+y^4}{x^3+y^3}\ge\frac{x^3+y^3}{x^2+y^2}\ge\frac{x^2+y^2}{x+y}\ge\frac{x+y}{2}\)
tuong tu va suy ra \(A\ge\frac{x+y+y+z+z+x}{2}=\frac{2\left(x+y+z\right)}{2}=x+y+z=2015\)
Vay Amin = 2015 <=> x=y=z=2015/3
chuc ban hoc tot