K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

23 tháng 11 2019

Ta có:

\(x^4+y^4\ge x^3y+xy^3\Rightarrow2\left(x^4+y^4\right)\ge x^4+y^4+x^3y+xy^3=\left(x^3+y^3\right)\left(x+y\right)\)

\(\Rightarrow\frac{x^4+y^4}{x^3+y^3}\ge\frac{x+y}{2}\)

Σ\(\frac{x^4+y^4}{x^3+y^3}\)\(\ge x+y+z=2008\)

NV
22 tháng 2 2020

Ta chứng minh BĐT phụ sau với số dương:

\(\frac{a^4+b^4}{a^3+b^3}\ge\frac{a+b}{2}\Leftrightarrow2a^4+2b^4\ge a^4+b^4+a^3b+ab^3\)

\(\Leftrightarrow a^4-a^3b+b^4-ab^3\ge0\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a^3-b^3\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\) (luôn đúng)

Áp dụng vào bài toán:

\(\Rightarrow VT\ge\frac{x+y}{2}+\frac{y+z}{2}+\frac{z+x}{2}=x+y+z=2008\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{2008}{3}\)

24 tháng 9 2020

Trước hết ta sẽ chứng minh bổ đề phụ sau, với mọi a,b dương ta có: 

\(2\left(a^4+b^4\right)\ge\left(a+b\right)\left(a^3+b^3\right)\)

Thật vậy  biến đổi tương đương ta đưa về \(\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)=0\)

BĐT này luôn đúng, thế thì

\(2\left(a^4+b^4\right)\ge\left(a+b\right)\left(a^3+b^3\right)\)

\(\Rightarrow\left(a^4+b^4\right)\ge\frac{\left(a+b\right)\left(a^3+b^3\right)}{2}\)

\(\frac{a^4+b^4}{a^3+b^3}\ge\frac{a+b}{2}\)

Như vậy ta có:

\(\hept{\begin{cases}\frac{x^4+y^4}{x^3+y^3}\ge\frac{x+y}{2}\\\frac{y^4+z^4}{y^3+z^3}\ge\frac{y+z}{2}\\\frac{z^4+x^4}{z^3+x^3}\ge\frac{z+x}{2}\end{cases}}\)

\(\frac{x^4+y^4}{x^3+y^3}+\frac{y^4+z^4}{y^3+z^3}+\frac{z^4+x^4}{z^3+x^3}\ge\frac{x+y}{2}+\frac{y+z}{2}+\frac{z+x}{2}=1\)

Dấu '=' xảy ra khi x=y=z=1/3

24 tháng 9 2020

Đặng Ngọc Quỳnh  không cần a,b rồi suy ra x,y, quá lòng vòng

Bạn tham khảo cách làm tại đây

 Câu hỏi của Pham Quoc Cuong - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath

20 tháng 12 2017

Trước tiên chứng minh:

\(a^4+b^4\ge a^3b+ab^3\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\)(đúng)

\(\Rightarrow2\left(a^4+b^4\right)\ge a^4+b^4+a^3b+ab^3=\left(a+b\right)\left(a^3+b^3\right)\)

Áp dụng bài toán được

\(P=\frac{x^4+y^4}{x^3+y^3}+\frac{y^4+z^4}{y^3+z^3}+\frac{z^4+x^4}{z^3+x^3}\)

\(\ge\frac{1}{2}\left(x+y+y+z+z+x\right)=x+z+y=2018\)

12 tháng 2 2020

Bdt phu \(\frac{a^{n+2}+b^{n+2}}{a^{n+1}+b^{n+1}}\ge\frac{a^{n+1}+b^{n+1}}{a^n+b^n}\)

cai nay ban tu chung minh nha , nhan cheo rut gon la ra

dau = khi a=b

Ap dung ta co \(\frac{x^4+y^4}{x^3+y^3}\ge\frac{x^3+y^3}{x^2+y^2}\ge\frac{x^2+y^2}{x+y}\ge\frac{x+y}{2}\)

tuong tu va suy ra \(A\ge\frac{x+y+y+z+z+x}{2}=\frac{2\left(x+y+z\right)}{2}=x+y+z=2015\)

Vay Amin = 2015 <=> x=y=z=2015/3

chuc ban hoc tot

9 tháng 1 2017

Xét \(4\left(x^3+y^3\right)-\left(x+y\right)^3=3\left(x+y\right)\left(x-y\right)^2\ge0\) (Vì x,y > 0)

Suy ra \(z+\sqrt[3]{4\left(x^3+y^3\right)}\ge x+y+z\)

Hay \(\frac{x+y}{z+\sqrt[3]{4\left(x^3+y^3\right)}}\le\frac{x+y}{x+y+z}\)

Tương tự : \(\frac{y+z}{x+\sqrt[3]{4\left(y^3+z^3\right)}}\le\frac{y+z}{x+y+z}\)

\(\frac{z+x}{y+\sqrt[3]{4\left(z^3+x^3\right)}}\le\frac{z+x}{x+y+z}\)

Cộng theo vế được đpcm.

16 tháng 1 2020

\(\frac{x^4+y^4+z^4+t^4}{x^3+y^3+z^3+t^3}=\frac{\left(x^4+y^4+z^4+t^4\right)\left(x^2+y^2+z^2+t^2\right)}{\left(x^3+y^3+z^3+t^3\right)\left(x^2+y^2+z^2+t^2\right)}\)

\(\ge\frac{x^3+y^3+z^3+t^3}{x^2+y^2+z^2+t^2}=\frac{\left(x^3+y^3+z^3+t^3\right)\left(x+y+z+t\right)}{\left(x^2+y^2+z^2+t^2\right)\left(x+y+z+t\right)}\)

\(\ge\frac{x^2+y^2+z^2+t^2}{x+y+z+t}\ge\frac{\left(x+y+z+t\right)^2}{4\left(x+y+z+t\right)}=\frac{1}{4}\)

Dấu "=" xảy ra tại x=y=z=t=1/4

Bài làm có tham khảo của GOD Đạt Hồ

19 tháng 1 2020
Cho mình hỏi là bạn ấy dùng bất đẳng thức gì vây