Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(P=\dfrac{x^2+1}{8}+\dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}}+\dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{x^2+1}{8\left(x^2+1\right)}}=\dfrac{3}{2}\)
\(P_{min}=\dfrac{3}{2}\) khi \(x=\pm\sqrt{3}\)
Áp dụng bất đẳng thức Minkowski ta có:
\(\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{y^2+\frac{1}{y^2}}+\sqrt{z^2+\frac{1}{z^2}}\ge\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2}\)
\(\ge\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+\left(\frac{9}{x+y+z}\right)^2}=\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+\frac{81}{\left(x+y+z\right)^2}}\)
\(=\sqrt{\left[\left(x+y+z\right)^2+\frac{1}{\left(x+y+z\right)^2}\right]+\frac{80}{\left(x+y+z\right)^2}}\)
\(\ge\sqrt{2\sqrt{\left(x+y+z\right)^2\cdot\frac{1}{\left(x+y+z\right)^2}}+\frac{80}{1}}=\sqrt{82}\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(x=y=z=\frac{1}{3}\)
Áp dụng bất đẳng thức Minkowski ta có:
√x2+1x2 +√y2+1y2 +√z2+1z2 ≥√(x+y+z)2+(1x +1y +1z )2
≥√(x+y+z)2+(9x+y+z )2=√(x+y+z)2+81(x+y+z)2
=√[(x+y+z)2+1(x+y+z)2 ]+80(x+y+z)2
≥√2√(x+y+z)2·1(x+y+z)2 +801 =√82
Dấu "=" xảy ra khi: x=y=z=13
\(P=\sqrt{x^4+x^2y^2}+x^2=\sqrt{x^4+\frac{1}{x^2}}+x^2\)
Ta có: \(x^4+\frac{1}{x^2}=x^4+\frac{1}{8x^2}+\frac{1}{8x^2}+...+\frac{1}{8x^2}\ge9\sqrt[9]{x^4.\left(\frac{1}{8x^2}\right)^8}\)
\(=9\sqrt[9]{\frac{1}{8^8.x^{12}}}\)
=> \(P=3\sqrt[18]{\frac{1}{8^8.x^{12}}}+x^2\)
\(=\sqrt[18]{\frac{1}{8^8x^{12}}}+\sqrt[18]{\frac{1}{8^8x^{12}}}+\sqrt[18]{\frac{1}{8^8x^{12}}}+x^2\)
\(\ge4\sqrt[4]{\left(\sqrt[18]{\frac{1}{8^8x^{12}}}\right)^3.x^2}\)
\(=4.\left(\frac{1}{8^{\frac{1}{3}}.x^{\frac{1}{2}}}\right).x^2=2\)
Dấu "=" xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}x^4=\frac{1}{8x^2}\\x^2=\sqrt[8]{\frac{1}{8^8x^{12}}}\end{cases}}\)<=> x^2 = 1/2 khi đó y = 2 , x = \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)
Vậy GTNN của P = 2.
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy
\(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\ge\frac{9}{xy+yz+zx}\)
\(M\ge\frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{9}{xy+yz+zx}=\frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{4}{2\left(xy+yz+xz\right)}+\frac{7}{xy+yz+zx}\)
Áp dụng BĐT Cauchy - Schwarz :
\(\frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{4}{2\left(xy+yz+zx\right)}\ge\frac{\left(1+2\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2}=9\)
và \(\frac{7}{xy+yz+xz}\ge\frac{7}{\frac{1}{3}\left(x+y+z\right)^2}=21\)
\(\Rightarrow M\ge9+21=30\)
Dấu " = " xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)
Áp dụng BĐT Cauchy schwarz ta có:
\(M=\frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\)
\(\ge\frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{9}{xy+yz+zx}\)
\(=\frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{4}{2\left(xy+yz+zx\right)}+\frac{7}{2\left(xy+yz+zx\right)}\)
\(\ge\frac{9}{\left(x+y+z\right)^2}+\frac{7}{\frac{2\left(x+y+z\right)^2}{3}}=30\)
Đẳng thức xảy ra tại x=y=z=1/3
Theo giả thiết ta có : \(x+yz=yz-z-1=\left(z-1\right)\left(y+1\right)=\left(x+y\right)\left(y+1\right)\)
Tương tự : \(y+zx=\left(x+y\right)\left(x+1\right)\)
Và \(z+xy=\left(x+1\right)\left(y+1\right)\)
Nên \(P=\frac{x}{\left(x+y\right)\left(y+1\right)}+\frac{y}{\left(x+y\right)\left(x+1\right)}+\frac{z^2+2}{\left(x+1\right)\left(y+1\right)}\)
\(=\frac{x^2+y^2+x+y}{\left(x+y\right)\left(x+1\right)\left(y+1\right)}+\frac{z^2+2}{\left(x+1\right)\left(y+1\right)}\)
Ta có \(x^2+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2};\left(x+1\right)\left(y+1\right)\le\frac{\left(x+y+2\right)^2}{4}\)
nên \(P\ge\frac{2\left(x+y\right)^2+4\left(x+y\right)}{\left(x+y+2\right)^2\left(x+y\right)}+\frac{4\left(z^2+2\right)}{\left(x+y+2\right)^2}=\frac{2\left(x+y\right)+4}{\left(x+y+2\right)^2}+\frac{4\left(z^2+2\right)}{\left(x+y+2\right)^2}\)
\(=\frac{2}{z+1}+\frac{4\left(z^2+2\right)}{\left(z+1\right)^2}=f\left(z\right);z>1\)
Lập bảng biến thiên ta được \(f\left(z\right)\ge\frac{13}{4}\) hay min \(P=\frac{13}{4}\) khi \(\begin{cases}z=3\\x=y=1\end{cases}\)
Áp dụng bất đăng thức Cauchy : \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{3}{\sqrt[3]{xyz}}\)
Nên \(P\ge\frac{3}{\sqrt[3]{xyz}}+2xyz\). Đẳng thức khi : x=y=z
Đặt \(t=\sqrt[3]{xyz}\)
Cũng theo Cauchy : \(1=x^2+y^2+z^2\ge3\sqrt{x^2y^2z^2}\). Đẳng thức khi x=y=z
Nên ta có 0<t\(\le\frac{\sqrt{3}}{3}\)
Xét hàm số \(f\left(t\right)=\frac{3}{t}+2t^3\) với 0<t\(\le\frac{\sqrt{3}}{3}\)
Tính \(f'\left(t\right)=-\frac{3}{t^2}+6t^2=\frac{3\left(2t^2-1\right)}{t^2}\)
Lập bảng biến thiên của f(t) rồi chỉ ra : \(f\left(t\right)\ge\frac{29\sqrt{3}}{9}\) với mọi t\(\in\left(0;\frac{\sqrt{3}}{3}\right)\)
Từ đó \(P\ge\frac{29\sqrt{3}}{9}\)
Giá trị nhỏ nhất của P là \(\frac{29\sqrt{3}}{9}\) đạt được khi \(x=y=z=\frac{\sqrt{3}}{3}\)
Áp dụng BĐT BSC và BĐT \(2\left(x^2+y^2\right)\ge\left(x+y\right)^2\):
\(A=x\sqrt{y+1}+y\sqrt{x+1}\)
\(\Rightarrow A^2=\left(x\sqrt{y+1}+y\sqrt{x+1}\right)^2\)
\(\le\left(x^2+y^2\right)\left(x+y+2\right)\)
\(\le\left(x^2+y^2\right)\left[\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}+2\right]=\sqrt{2}+2\)
\(\Rightarrow-\sqrt{\sqrt{2}+2}\le A\le\sqrt{\sqrt{2}+2}\)
\(\Rightarrow minA=\sqrt{\sqrt{2}+2}\Leftrightarrow x=y=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)
\(P=\frac{x^2+1}{8}+\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\ge3\sqrt[3]{\frac{x^2+1}{8\left(x^2+1\right)}}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\frac{x^2+1}{8}=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\Leftrightarrow x=\pm\sqrt{3}\)