K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
NV
0
TN
0
SN
25 tháng 9 2021
Đặt x+y−z=a;x−y+z=b;−x+y+z=cx+y−z=a;x−y+z=b;−x+y+z=c thì a + b + c = x + y + z
A=(a+b+c)3−a3−b3−c3A=(a+b+c)3−a3−b3−c3
=(a+b+c−a)[(a+b+c)2+a(a+b+c)+a2]−(b3+c3)=(a+b+c−a)[(a+b+c)2+a(a+b+c)+a2]−(b3+c3)
=(b+c)[a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)+(a2+ab+ac)+a2]−(b+c)(b2−bc+c2)=(b+c)[a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)+(a2+ab+ac)+a2]−(b+c)(b2−bc+c2)=(b+c)[3a2+b2+c2+3ab+2bc+3ac−b2+bc−c2]=(b+c)[3a2+b2+c2+3ab+2bc+3ac−b2+bc−c2]
=(b+c)(3a2+3ab+3bc+3ca)=(b+c)(3a2+3ab+3bc+3ca)
=(b+c)(3a(a+b)+3c(a+b))=3(a+b)(b+c)(c+a)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
31 tháng 3 2018
Bài 3:
Áp dụng BĐT Cauchy cho các số dương ta có:
\(\frac{1}{x}+\frac{x}{4}\geq 2\sqrt{\frac{1}{4}}=1\)
\(\frac{1}{y}+\frac{y}{4}\geq 2\sqrt{\frac{1}{4}}=1\)
\(\frac{1}{z}+\frac{z}{4}\geq 2\sqrt{\frac{1}{4}}=1\)
Cộng theo vế các BĐT vừa thu được ta có:
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{x+y+z}{4}\geq 3\)
\(\Rightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq 3-\frac{x+y+z}{4}\geq 3-\frac{6}{4}\) (do \(x+y+z\leq 6\) )
\(\Rightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{3}{2}\) (đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z=2\)
Bài 4:
Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số dương:
\(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\geq 3\sqrt[3]{\frac{x}{y}.\frac{y}{z}.\frac{z}{x}}=3\sqrt[3]{1}=3\) (đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z\)
15 tháng 9 2019
a ) \(\frac{1}{\left(x-y\right)\left(y-z\right)}+\frac{1}{\left(y-z\right)\left(z-x\right)}+\frac{1}{\left(z-x\right)\left(x-y\right)}\)
= \(\frac{z-x}{\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)}+\frac{x-y}{\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)}+\frac{y-z}{\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)}\)
= \(\frac{z-x+x-y+y-z}{\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)}=0\)
b ) \(\frac{4}{\left(y-x\right)\left(z-x\right)}+\frac{3}{\left(y-x\right)\left(y-z\right)}+\frac{3}{\left(y-z\right)\left(x-z\right)}\)
= \(\frac{-4}{\left(y-x\right)\left(x-z\right)}+\frac{3}{\left(y-x\right)\left(y-z\right)}+\frac{3}{\left(y-z\right)\left(x-z\right)}\)
= \(\frac{-4\left(y-z\right)}{\left(x-z\right)\left(y-z\right)\left(y-x\right)}+\frac{3\left(x-z\right)}{\left(x-z\right)\left(y-z\right)\left(y-x\right)}+\frac{3\left(y-x\right)}{\left(x-z\right)\left(y-z\right)\left(y-x\right)}\)
= \(\frac{-4y+4z+3x-3z+3y-3x}{\left(x-z\right)\left(y-z\right)\left(y-x\right)}=\frac{z-y}{\left(x-z\right)\left(y-z\right)\left(y-x\right)}\)
= \(\frac{-\left(y-x\right)}{\left(x-z\right)\left(y-z\right)\left(y-x\right)}=\frac{-1}{\left(x-z\right)\left(y-z\right)}=\frac{1}{\left(x-z\right)\left(x-y\right)}\)
Chúc bạn học tốt !!!
\(x^3+y^3+z^3=3xyz\\ \Leftrightarrow\left(x+y+z\right)\left[\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\right]=0\\ \Rightarrow x=y=z\)
tháy vào M ta có:
\(M=\left(1+\dfrac{x}{y}\right)\left(1+\dfrac{y}{z}\right)\left(1+\dfrac{z}{x}\right)\\ M=\left(1+1\right)\left(1+1\right)\left(1+1\right)=\left(1+1\right)^3=8\)
\(x^3+y^3+z^3=3xyz\Leftrightarrow x+y+z=0\)(chỗ này nếu k hiểu thì hỏi mk giải thích cho)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=-z\\y+z=-x\\z+x=-y\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}z=-x-y\\x=-y-z\\y=-z-x\end{matrix}\right.\)
Thay vào M ta có:
\(M=\left(1+\dfrac{x}{y}\right)\left(1+\dfrac{y}{z}\right)\left(1+\dfrac{z}{x}\right)\)
\(=\left(1+\dfrac{-y-z}{y}\right)\left(1+\dfrac{-z-x}{z}\right)\left(1+\dfrac{-x-y}{x}\right)\)
\(=\left(1-1-\dfrac{z}{y}\right)\left(1-1-\dfrac{x}{z}\right)\left(1-1-\dfrac{y}{x}\right)\)
\(=\left(-\dfrac{z}{y}\right)\left(-\dfrac{x}{z}\right)\left(-\dfrac{y}{x}\right)\)
\(=-1\)