Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta dễ dàng chứng minh BĐT
\(x^4+y^4\ge x^3y+xy^3\)
\(\Rightarrow2\left(x^4+y^4\right)\ge x^4+y^4+x^3y+xy^3=\left(x+y\right)\left(x^3+y^3\right)\)
\(\Rightarrow\frac{x^4+y^4}{x^3+y^3}\ge\frac{x+y}{2}\)
Chứng minh tương tự, cộng theo vế, ta có:
\(\frac{x^4+y^4}{x^3+y^3}+\frac{y^4+z^4}{y^3+z^3}+\frac{z^4+x^4}{z^3+x^3}\ge\frac{x+y}{2}+\frac{y+z}{2}+\frac{z+x}{2}=\frac{2\left(x+y+z\right)}{2}=2\)
Dấu "=" xảy ra khi x=y=z=1/3
Ta chứng minh \(x^4+y^4\ge x^3y+xy^3\)
\(\Leftrightarrow x^3\left(x-y\right)-y^3\left(x-y\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(x^2+xy+y^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left[\left(x+\frac{y}{2}\right)^2+\frac{3y^2}{4}\right]\ge0\)(luôn đúng)
Áp dụng vào bài toán ta có:
\(x^4+y^4\ge x^3y+xy^3\)\(\Rightarrow2\left(x^4+y^4\right)\ge x^4+y^4+x^3y+xy^3\)\(=\left(x^3+y^3\right)\left(x+y\right)\)
\(\Rightarrow\frac{x^4+y^4}{x^3+y^3}\ge\frac{x+y}{2}\).Tương tự ta cũng có:
\(\frac{y^4+z^4}{y^3+z^3}\ge\frac{y+z}{2};\frac{z^4+x^4}{z^3+x^3}\ge\frac{z+x}{2}\)
Cộng theo vế ta có: \(VT\ge\frac{x+y}{2}+\frac{y+z}{2}+\frac{z+x}{2}=x+y+z=1\)
Dấu = khi \(x=y=z=\frac{2008}{3}\)
\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{y}+\dfrac{3}{z}=0\)
=>\(\dfrac{yz+2xz+3xy}{xyz}=0\)
=>yz+2xz+3xy=0
=>\(xy+\dfrac{2}{3}xz+\dfrac{1}{3}yz=0\)
\(x+\dfrac{y}{2}+\dfrac{z}{3}=1\)
=>\(\left(x+\dfrac{y}{2}+\dfrac{z}{3}\right)^2=1\)
=>\(x^2+\dfrac{y^2}{4}+\dfrac{z^2}{9}+2\left(x\cdot\dfrac{y}{2}+x\cdot\dfrac{z}{3}+\dfrac{y}{2}\cdot\dfrac{z}{3}\right)=1\)
=>\(A+2\left(\dfrac{xy}{2}+\dfrac{xz}{3}+\dfrac{yz}{6}\right)=1\)
=>A+xy+2/3xz+1/3yz=1
=>A=1
