K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

28 tháng 5 2018

A B C D E F I K

a) Áp dụng hệ quả định lý \(Ta-lét\) vào \(\Delta BEC\)\(AD//BE\left(gt\right)\) \(\Rightarrow\dfrac{AD}{BE}=\dfrac{CD}{BC}\left(2\right)\)

Áp dụng hệ quả định lý \(Ta-lét\) vào \(\Delta BFC\)\(AD//CF\left(gt\right)\) \(\Rightarrow\dfrac{AD}{CF}=\dfrac{BD}{BC}\left(2\right)\)

Từ \(\left(1\right)\)\(\left(2\right)\Rightarrow\dfrac{AD}{BE}+\dfrac{AD}{CF}=\dfrac{CD}{BC}+\dfrac{BD}{BC}\)

\(\Rightarrow AD\left(\dfrac{1}{BE}+\dfrac{1}{CF}\right)=\dfrac{CD+BD}{BC}=\dfrac{BC}{BC}=1\\ \Rightarrow\dfrac{1}{BE}+\dfrac{1}{CF}=\dfrac{1}{AD}\left(đpcm\right)\)

b) Áp dụng hệ quả định lý \(Ta-lét\) vào \(\Delta BAE\)\(BE//CF\left(gt\right)\) \(\Rightarrow\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{AF}{\: AB}\)

Xét \(\Delta EAF\)\(\Delta CAB\) có: \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{AF}{\: AB}\left(\text{Chứng minh trên}\right)\\\widehat{EAF}=\widehat{CAB}\left(\text{2 góc đối đỉnh}\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta EAF\sim\Delta CAB\left(c.g.c\right)\\ \Rightarrow\widehat{AEF}=\widehat{ACB}\left(\text{2 góc tương ứng}\right)\\ \Rightarrow EF//BC\left(\text{2 góc so le trong}\right)\)

\(BE//CF\left(gt\right)\)

\(\Rightarrow\text{Tứ giác }BECF\text{ là hình bình hành}\left(\text{Dấu hiệu nhận biết}\right)\\ \Rightarrow A\text{ là trung điểm }EC\left(\text{Tính chất đường chéo hình bình hành}\right)\\ \Rightarrow AC=\dfrac{1}{2}AE\\ \Rightarrow S_{ABC}=\dfrac{1}{2}S_{BEC}\left(\text{Chung đường cao hạ từ B xuống EC}\right)\left(5\right)\)

Từ \(E\) kẻ \(EI\perp BC\Rightarrow EI\) là đường cao ứng với \(BC\) của \(\Delta EBC\)

Từ \(D\) kẻ \(DK\perp EF\Rightarrow DK\) là đường cao ứng với \(EF\) của \(\Delta EDF\)

Ta có : \(DI//EK\left(I\in BC;K\in EF;BC//EF\right)\left(3\right)\)

\(\Rightarrow EI\perp EK\left(EI\perp DI\right)\\ \Rightarrow EI//DK\left(\text{Cùng }\perp EK\right)\left(4\right)\)

Từ \(\left(3\right)\)\(\left(4\right)\Rightarrow\text{Tứ giác }DIEK\text{ là hình bình hành}\left(\text{Dấu hiệu nhận biết}\right)\)\(\Rightarrow DI=EK\left(\text{2 cạnh đối hình bình hành}\right)\)

\(EF=BC\left(\text{2 cạnh đối hình bình hành}\right)\)

\(\Rightarrow S_{DEF}=S_{EBC}\left(6\right)\)

Từ \(\left(5\right)\)\(\left(6\right)\Rightarrow S_{ABC}=\dfrac{1}{2}S_{DEF}\)

\(\Rightarrow S_{DEF}=2S_{ABC}\left(đpcm\right)\)

20 tháng 2 2019

tại sao AE/AC=AF/AB

 

23 tháng 4 2019

A B C D F E H P Q M 1 1 2

Ta có : AQ // CH ; AP // BH nên Tứ giác AQHP là hình bình hành nên AP = HQ

để C/m CA.AH = CB.AP hay CA.AH = CB.HQ

Ta có : \(\widehat{BHD}=90^o-\widehat{HBD}\)\(\widehat{BCA}=90^o-\widehat{HBD}\)

\(\Rightarrow\widehat{BHD}=\widehat{BCA}\)

Mà \(\widehat{BHD}=\widehat{AHQ}\)( đối đỉnh ) nên \(\widehat{AHQ}=\widehat{BCA}\) 

Ta có : 

\(\widehat{HAQ}=\widehat{HAC}+\widehat{A_2}=\widehat{HAC}+\widehat{C_1}=180^o-\widehat{AHC}=180^o-\left(90^o+\widehat{A_1}\right)=90^o-\widehat{A_1}\)

Mà \(\widehat{ABC}=90^o-\widehat{A_1}\)

\(\Rightarrow\widehat{ABC}=\widehat{HAQ}\)

Xét \(\Delta ABC\)và \(\Delta HQA\)có :

\(\widehat{ACB}=\widehat{AHQ}\)( cmt ) ; \(\widehat{ABC}=\widehat{HAQ}\)

\(\Rightarrow\Delta ABC\approx\Delta QAH\left(g.g\right)\)

\(\Rightarrow\frac{AC}{BC}=\frac{HQ}{AH}\)hay \(\frac{AC}{BC}=\frac{AP}{AH}\) \(\Rightarrow\)AC.AH = BC.AP