Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đề là tìm GTNN?
----------------------------------------------------------------------------------
Đầu tiên ta chứng minh bổ đề: \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\).Áp dụng BĐT AM-GM (Cô si),ta có: \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\sqrt{\frac{xy}{yz}}=2^{\left(đpcm\right)}\) (1)
Dấu "=" xảy ra khi x = y
--------------------------------------------------------------------------------------
Đặt \(A=x^2+y^2+z^2-xyz\).Thay giả thiết đề bài,ta có"
\(A=\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)^2+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)^2+\left(\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\right)^2-\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)\left(\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\right)\)
\(\ge2^2+2^2+2^2-2.2.2=4\) (BĐT (1) )
Vậy \(A_{min}=4\Leftrightarrow a=b=c\Leftrightarrow x=y=z\)
\(-\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)\left(\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\right)\le-2.2.2=-8\) ngược dấu nha eiu
ko đc trừ 2 vế tương ứng của 2 bđt cùng chiều
Lời giải:
Nếu $x=0$ thì $a=b$. Khi đó:
$x+y+z+xyz=y+z=\frac{b-c}{b+c}+\frac{c-b}{c+b}=0$ (đpcm)
Tương tự: $y=0; z=0$ cũng vậy.
Nếu $xyz\neq 0$:
\(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}=\frac{(a+b)(b+c)}{(a-b)(b-c)}+\frac{(b+c)(c+a)}{(b-c)(c-a)}+\frac{(a+b)(a+c)}{(a-b)(c-a)}\)
\(=\frac{(a+b)(b+c)(c-a)+(b+c)(c+a)(a-b)+(a+b)(a+c)(b-c)}{(a-b)(b-c)(c-a)}\)
\(=\frac{(ab+bc+ac)[(c-a)+(b-c)+(a-b)]+b^2(c-a)+c^2(a-b)+a^2(b-c)}{(a-b)(b-c)(c-a)}\)
\(=\frac{b^2(c-a)+c^2(a-b)+a^2(b-c)}{(a-b)(b-c)(c-a)}=\frac{(a^2b+b^2c+c^2a)-(ab^2+bc^2+ca^2)}{(ab^2+bc^2+ca^2)-(a^2b+b^2c+c^2a)}=-1\)
\(\Rightarrow \frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}+1=0\Leftrightarrow \frac{x+y+z+xyz}{xyz}=0\Rightarrow x+y+z+xyz=0\)
Ta có đpcm.
Ta có: \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=0\)
\(\Leftrightarrow\)\(\frac{bcx+acy+abz}{abc}=0\)
\(\Leftrightarrow\)\(bcx+acy+abz=0\)
\(\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}=2\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}\right)^2=4\)
\(\Leftrightarrow\)\(\frac{a^2}{x^2}+\frac{b^2}{y^2}+\frac{c^2}{z^2}+2\left(\frac{ab}{xy}+\frac{ac}{xz}+\frac{bc}{yz}\right)=4\)
\(\Leftrightarrow\)\(\frac{a^2}{x^2}+\frac{b^2}{y^2}+\frac{c^2}{z^2}=4-2\frac{abz+acy+bcx}{xyz}=4\) (vì abz + acy + bcx = 0 )
Ta có: \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=0\)
\(\Rightarrow\frac{bcx+acy+abz}{abc}=0\)
\(\Rightarrow bcx+acy+abz=0\)
Lại có:\(\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}=2\)
\(\Rightarrow\frac{a^2}{x^2}+\frac{b^2}{y^2}+\frac{c^2}{z^2}+2.\frac{bcx+acy+abz}{xyz}=4\)(bình phương hai vế)
\(\Rightarrow\frac{a^2}{x^2}+\frac{b^2}{y^2}+\frac{c^2}{z^2}=4\)(Vì \(bcx+acy+abz=0\))
Từ (1) \(\Rightarrow bcx+acy+abz=0\)
Gọi \(\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}=2\left(2\right)\)
Từ (2) \(\Rightarrow\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}+2\left(\frac{ab}{xy}+\frac{ac}{xz}+\frac{bc}{yz}\right)=0\)
\(\Rightarrow\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=4-\left(\frac{abz+acy+bcx}{xyz}\right)\)
\(=4\)
\(b,\frac{ab}{a^2+b^2+c^2}+\frac{bc}{b^2+c^2-a^2}+\frac{ca}{c^2+a^2-b^2}\)
Từ \(a+b+c=0\Rightarrow a+b=-c\Rightarrow a^2+b^2-c^2=-2ab\)
Tương tự \(b^2+c^2-a^2=-2bc\)và \(c^2+a^2-b^2=-2ac\)
\(\Rightarrow\frac{ab}{-2ab}+\frac{bc}{-2bc}+\frac{ca}{-2ca}=\frac{1}{-2}+\frac{1}{-2}+\frac{1}{-2}\)
\(=-\frac{3}{2}\)