Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(A=lim\frac{\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1}}{1}=lim\left[n\left(\sqrt{1+\frac{2}{n}}+\sqrt{1+\frac{1}{n}}\right)\right]=+\infty.2=+\infty\)
\(B=lim\frac{8^3.64^n-9.27^n}{4^4.64^n+5^3.25^n}=\frac{8^3-9.\left(\frac{27}{64}\right)^n}{4^4+5^3\left(\frac{25}{64}\right)^n}=\frac{8^3}{4^4}=2\)
\(1;-\frac{1}{2};\frac{1}{4}...\) là dãy cấp số nhân lùi vô hạn có \(u_1=1\) và \(q=-\frac{1}{2}\)
Do \(\left|q\right|< 1\) nên theo công thức tổng cấp số nhân:
\(S_n=\frac{u_1}{1-q}=\frac{1}{1+\frac{1}{2}}=\frac{2}{3}\)
a) \(\lim \frac{{2{n^2} + 6n + 1}}{{8{n^2} + 5}} = \lim \frac{{{n^2}\left( {2 + \frac{6}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}} \right)}}{{{n^2}\left( {8 + \frac{5}{{{n^2}}}} \right)}} = \lim \frac{{2 + \frac{6}{n} + \frac{1}{n}}}{{8 + \frac{5}{n}}} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}\)
b) \(\lim \frac{{4{n^2} - 3n + 1}}{{ - 3{n^3} + 6{n^2} - 2}} = \lim \frac{{{n^3}\left( {\frac{4}{n} - \frac{3}{{{n^2}}} + \frac{1}{{{n^3}}}} \right)}}{{{n^3}\left( { - 3 + \frac{6}{n} - \frac{2}{{{n^3}}}} \right)}} = \lim \frac{{\frac{4}{n} - \frac{3}{{{n^2}}} + \frac{1}{{{n^3}}}}}{{ - 3 + \frac{6}{n} - \frac{2}{{{n^3}}}}} = \frac{{0 - 0 + 0}}{{ - 3 + 0 - 0}} = 0\).
c) \(\lim \frac{{\sqrt {4{n^2} - n + 3} }}{{8n - 5}} = \lim \frac{{n\sqrt {4 - \frac{1}{n} + \frac{3}{{{n^2}}}} }}{{n\left( {8 - \frac{5}{n}} \right)}} = \frac{{\sqrt {4 - 0 + 0} }}{{8 - 0}} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}\).
d) \(\lim \left( {4 - \frac{{{2^{{\rm{n}} + 1}}}}{{{3^{\rm{n}}}}}} \right) = \lim \left( {4 - 2 \cdot {{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^{\rm{n}}}} \right) = 4 - 2.0 = 4\).
e) \(\lim \frac{{{{4.5}^{\rm{n}}} + {2^{{\rm{n}} + 2}}}}{{{{6.5}^{\rm{n}}}}} = \lim \frac{{{{4.5}^{\rm{n}}} + {2^2}{{.2}^{\rm{n}}}}}{{{{6.5}^{\rm{n}}}}} = \lim \frac{{{5^n}.\left[ {4 + 4.{{\left( {\frac{2}{5}} \right)}^{\rm{n}}}} \right]}}{{{{6.5}^n}}} = \lim \frac{{4 + 4.{{\left( {\frac{2}{5}} \right)}^{\rm{n}}}}}{6} = \frac{{4 + 4.0}}{6} = \frac{2}{3}\).
g) \(\lim \frac{{2 + \frac{4}{{{n^3}}}}}{{{6^{\rm{n}}}}} = \lim \left( {2 + \frac{4}{{{{\rm{n}}^3}}}} \right).\lim {\left( {\frac{1}{6}} \right)^{\rm{n}}} = \left( {2 + 0} \right).0 = 0\).
\(\lim\dfrac{2^{n}(4^{n+1}-3^{n+2}-1)}{5^{n}+8^{n}} =\lim\dfrac{4.8^{n}-9.6^{n}-2^{n}}{5^{n}+8^{n}} =\lim\dfrac{4-9.(\dfrac{6}{8})^{n}-(\dfrac{2}{8})^{n}}{(\dfrac{5}{8})^{n}+1} =\lim\dfrac{4-9.0-0}{0+1} =4\)
a) Với n = 1, vế trái chỉ có một số hạng là 2, vế phải bằng = 2
Vậy hệ thức đúng với n = 1.
Đặt vế trái bằng Sn.
Giả sử đẳng thức a) đúng với n = k ≥ 1, tức là
Sk= 2 + 5 + 8 + …+ 3k – 1 =
Ta phải chứng minh rằng cũng đúng với n = k + 1, nghĩa là phải chứng minh
Sk+1 = 2 + 5 + 8 + ….+ 3k -1 + (3(k + 1) – 1) =
Thật vậy, từ giả thiết quy nạp, ta có: Sk+1 = Sk + 3k + 2 = + 3k + 2
=
(điều phải chứng minh)
Vậy theo nguyên lí quy nạp toán học, hệ thức đúng với mọi n ε N*
b) Với n = 1, vế trái bằng , vế phải bằng
, do đó hệ thức đúng.
Đặt vế trái bằng Sn.
Giả sử hệ thức đúng với n = k ≥ 1, tức là
Ta phải chứng minh .
Thật vậy, từ giả thiết quy nạp, ta có:
= (điều phải chứng minh)
Vậy theo nguyên lí quy nạp toán học, hệ thức b) đúng với mọi n ε N*
c) Với n = 1, vế trái bằng 1, vế phải bằng = 1 nên hệ thức đúng với n = 1.
Đặt vế trái bằng Sn.
Giả sử hệ thức c) đúng với n = k ≥ 1, tức là
Sk = 12 + 22 + 32 + …+ k2 =
Ta phải chứng minh
Thật vậy, từ giả thiết quy nạp ta có:
Sk+1 = Sk + (k + 1)2 = = (k + 1).
= (k + 1)
(đpcm)
Vậy theo nguyên lí quy nạp toán học, hệ thức đúng với mọi n ε N*
Đặt \(S=\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{2^2}+\dfrac{5}{2^3}+...+\dfrac{2n-1}{2^n}\)
\(2S=1+\dfrac{3}{2}+\dfrac{5}{2^2}+...+\dfrac{2n-1}{2^{n-1}}\)
\(\Rightarrow2S-S=2+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2^2}+...+\dfrac{1}{2^{n-2}}-\dfrac{2n-1}{2^n}\)
\(\Rightarrow S=2+\dfrac{1}{2}.\dfrac{1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-2}}{1-\dfrac{1}{2}}-\dfrac{2n-1}{2^n}\)
\(\Rightarrow S=3-\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-2}-\dfrac{2n-1}{2^n}\)
\(\Rightarrow lim\left(S\right)=3\)
Xét hàm:
\(f\left(x\right)=x+x^2+x^3+...+x^n\)
Theo công thức tổng cấp số nhân ta có:
\(x+x^2+x^3+...+x^n=\dfrac{x^{n+1}-x}{x-1}\)
Đạo hàm 2 vế ta được:
\(1+2x+3x^2+...+nx^{n-1}=\dfrac{\left[\left(n+1\right)x^n-1\right]\left(x-1\right)-\left(x^{n+1}-x\right)}{\left(x-1\right)^2}\)
\(\Leftrightarrow1+2x+3x^2+...+nx^{n-1}=\dfrac{nx^{n+1}-\left(n+1\right)x^n+1}{\left(x-1\right)^2}\)
\(\Leftrightarrow x+2x^2+3x^3+...+n.x^n=\dfrac{n.x^{n+2}-\left(n+1\right)x^{n+1}+x}{\left(x-1\right)^2}\)
Thay \(x=\dfrac{1}{2}\) vào ta được:
\(S=\dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{2^2}+\dfrac{3}{2^3}+...+\dfrac{n}{2^n}=\dfrac{n.\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+2}-\left(n+1\right).\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}+\dfrac{1}{2}}{\left(\dfrac{1}{2}-1\right)^2}\)
\(\Rightarrow limS=lim\dfrac{n\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+2}-\left(n+1\right)\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}+\dfrac{1}{2}}{\left(\dfrac{1}{2}-1\right)^2}=\dfrac{0-0+\dfrac{1}{2}}{\dfrac{1}{4}}=2\)
1) \(\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\dfrac{6n-8}{n-1}=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\dfrac{2n\left(1-\dfrac{4}{n}\right)}{n\left(1-\dfrac{1}{n}\right)}=2\)
2) \(\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\dfrac{n^2+5n-3}{4n^3-2n+5}=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\dfrac{n^2\left(1+\dfrac{5}{n}-\dfrac{3}{n^2}\right)}{n^3\left(4-\dfrac{2}{n^2}+\dfrac{5}{n^3}\right)}=\dfrac{1}{4n}=\infty\)
3) \(\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\left(-2n^5+4n^4-3n^2+4\right)=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}n^5\left(-2+\dfrac{4}{n}-\dfrac{3}{n^2}+\dfrac{4}{n^5}\right)=-2n^5=-\infty\)
Chọn D.
Ta có:
- Có dãy số -22, 24, …, (-1)n.22n là cấp số nhân với n số hạng, có số hạng đầu u1 = -4 và công bội q = -4.
Do đó
- Có dãy số
là cấp số nhân với n số hạng, có số hạng đầu 
và công bội q = -1/4.
Do đó
Vậy
