![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(VP=3-\left(y^2-2y+1\right)=3-\left(y-1\right)^2\le3\)(Dấu "=" xảy ra khi \(y=1\)
Nhìn đề bài ta đoán dạng bất đẳng thức, có \(VP\le3\), giờ ta chứng minh \(VT\ge3\)
Thật vậy, ta có
\(\frac{4x^2-4x+7}{x^2+1}-3=\frac{4x^2-4x+7-3\left(x^2+1\right)}{x^2+1}=\frac{x^2-4x+4}{x^2+1}\)
\(=\frac{\left(x-2\right)^2}{x^2+1}\ge0\)
Do đó; \(\frac{4x^2-4x+7}{x^2+1}\ge3\)(dấu "=" xảy ra khi \(x=2\))
\(\Rightarrow\frac{4x^2-4x+7}{x^2+1}\ge3\ge2+2y-y^2\)
\(VT=VP\Leftrightarrow VT=3;VP=3\)
\(\Leftrightarrow x=3;y=1\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
=> x^4+x^2+x^2*y^2+y^2+4x^2*y=0
=>(x^4+2x^2*y+y^2)+x^2(y^2+2y+1)=0
=>(x^2+y)^2+x^2(y+1)^2=0
=>x=1; y=-1
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
3: \(P=\dfrac{x}{\left(x+y\right)+\left(x+z\right)}+\dfrac{y}{\left(y+z\right)+\left(y+x\right)}+\dfrac{z}{\left(z+x\right)+\left(z+y\right)}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{x}{x+y}+\dfrac{x}{x+z}\right)+\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{y}{y+z}+\dfrac{y}{y+x}\right)+\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{z}{z+x}+\dfrac{z}{z+y}\right)=\dfrac{3}{2}\).
Đẳng thức xảy ra khi x = y = x = \(\dfrac{1}{3}\).
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Theo BĐT Cauchy cho 2 số dương, ta có:
\(2x^2+y^2+5=\left(x^2+y^2\right)+\left(x^2+1\right)+4\ge2\left(xy+x+2\right)\)
\(\Rightarrow\frac{x}{2x^2+y^2+5}\le\frac{x}{2\left(xy+x+2\right)}\)(1)
Tương tự ta có: \(\frac{2y}{6y^2+z^2+6}\le\frac{2y}{4\left(yz+y+1\right)}=\frac{y}{2\left(yz+y+1\right)}\)(2)
\(\frac{4z}{3z^2+4x^2+16}\le\frac{4z}{4\left(zx+2z+2\right)}=\frac{z}{zx+2z+2}\)(3)
Cộng theo vế của 3 BĐT (1), (2), (3), ta được: \(\frac{x}{2x^2+y^2+5}+\frac{2y}{6y^2+z^2+6}+\frac{4z}{3z^2+4x^2+16}\)
\(\le\frac{1}{2}\left(\frac{x}{xy+x+2}+\frac{y}{yz+y+1}+\frac{2z}{zx+2z+2}\right)\)
\(=\frac{1}{2}\left(\frac{zx}{xyz+xz+2z}+\frac{xyz}{xyz^2+xyz+xz}+\frac{2z}{zx+2z+2}\right)\)
\(=\frac{1}{2}\left(\frac{zx}{2+xz+2z}+\frac{2}{2z+2+xz}+\frac{2z}{zx+2z+2}\right)\)(Do xyz = 2)
\(=\frac{1}{2}.\frac{zx+2z+2}{zx+2z+2}=\frac{1}{2}\)
Đẳng thức xảy ra khi x = y = 1; z = 2