Question

[Nguyễn Khắc Quang]

Tìm x, y nguyên sao cho: \(x^2+2xy+x+y^2+4y=0\)

Answer 1

[Yuri Sweet[𝕿𝖊𝖆𝖒 𝕹𝖊𝖕𝖆𝖑]]

Ta có : \(x^2+2xy+x+y^2+4y=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2+x+4y=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2=-\left(x+4y\right)\left(1\right)\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x+y=-\left(x+4y\right)\left(2\right)\\x+y=x+4y\left(3\right)\end{cases}}\)

• Từ \(\left(2\right)\): \(\Leftrightarrow2x=-5y\)

\(\Leftrightarrow\frac{x}{-5}=\frac{y}{2}\)

Đặt \(\frac{x}{-5}=\frac{y}{2}=k\left(k\inℤ\right)\)

Vì \(\left(x+y\right)^2\ge0\)nên từ \(\left(1\right)\):

\(\Rightarrow-\left(x+4y\right)\ge0\)

\(\Rightarrow x+4y\le0\)

\(\Rightarrow x\le-4y\left(4\right)\)

Khi đó : \(\hept{\begin{cases}x=-5k\\y=2k\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\left(4\right)\Leftrightarrow-5k\le-8k\)

\(\Rightarrow3k\le0\)

\(\Rightarrow k\le0\)

• Từ \(\left(3\right)\): \(\Leftrightarrow3y=0\)

\(\Leftrightarrow y=0\)

Khi đó, PT tương đương với : \(x^2+x=0\)

\(\Leftrightarrow x\left(x+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=0\\x+1=0\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=0\\x=-1\end{cases}}\)

Vậy tập nghiệm (x;y) của PT là : \(S=\left\{\left(0;0\right);\left(0;-1\right);\left(-5k;2k\right)\right\}\)\(\left(k\inℤ,k\le0\right)\)