Question

[Ngô Phương Nhi]

Tìm một đa thức bậc ba, biết P(x) chia cho x,(x-1), (x-2), (x-3), được dư lần lượt là: 10;12;4;1

Các bạn giúp mình với nha. Cảm ơn nhiều!

Answer 1

[l҉o҉n҉g҉ d҉z҉]

Gọi đa thức bậc 3 đó là P(x) = ax³ + bx² + cx + d

+) P(x) chia x dư 10

=> ax³ + bx² + cx + d - 10 chia hết cho x

Áp dụng định lí Bézoute ta có : P(x) chia hết cho x <=> P(0) = 0

=> d - 10 = 0 => d = 10

+) P(x) chia x - 1 dư 12

=> ax³ + bx² + cx + 10 - 12 chia hết cho x - 1

=> ax³ + bx² + cx - 2 chia hết cho x - 1

Áp dụng định lí Bézoute ta có : P(x) chia hết cho x - 1 <=> P(1) = 0

=> a + b + c - 2 = 0

=> a + b + c = 2 (1)

+) P(x) chia x - 2 dư 4

=> ax³ + bx² + cx + 10 - 4 chia hết cho x - 2

=> ax³ + bx² + cx + 6 chia hết cho x - 2

Áp dụng định lí Bézoute ta có : P(x) chia hết cho x - 2 <=> P(2) = 0

=> 8a + 4b + 2c + 6 = 0

=> 8a + 4b + 2c = -6 (2)

+) P(x) chia x - 3 dư 1

=> ax³ + bx² + cx + 10 - 1 chia hết cho x - 3

=> ax³ + bx² + cx + 9 chia hết cho x - 3

Áp dụng định lí Bézoute ta có : P(x) chia hết cho x - 3 <=> P(3) = 0

=> 27a + 9b + 3c + 9 = 0

=> 27a + 9b + 3c = -9 (3)

Từ (1), (2) và (3) => Ta có hệ \(\hept{\begin{cases}a+b+c=2\\8a+4b+2c=-6\\27a+9b+3c=-9\end{cases}}\)=> \(\hept{\begin{cases}a=\frac{5}{2}\\b=-\frac{25}{2}\\c=12\end{cases}}\)

Vậy P(x) = 5/2x³ - 25/2x² + 12x + 10