Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(7\left(a+b\right)^2-9\left(a-b\right)^2=7\left(a^2+2ab+b^2\right)-9\left(a^2-2ab+b^2\right)\)
\(=-2a^2-2b^2+32ab\)
Từ bđt \(2ab\le a^2+b^2\Rightarrow\)\(32ab\le16\left(a^2+b^2\right)\Rightarrow-2a^2-2b^2+32ab\le14\left(a^2+b^2\right)\)
\(\Rightarrow A\le\frac{14\left(a^2+b^2\right)}{2014\left(a^2+b^2\right)}=\frac{7}{1007}\)
\("="\Leftrightarrow a=b\)
\(P=\frac{a^3}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}+\frac{b^3}{\left(b+1\right)\left(c+1\right)}+\frac{c^3}{\left(c+1\right)\left(a+1\right)}-1\)
ÁP dụng BĐT AM-Gm ta có:
\(Σ\frac{a^2}{\left(ab+2\right)\left(2ab+1\right)}\ge\frac{4}{9}\cdotΣ\frac{a^2}{\left(ab+1\right)^2}\)
ĐẶt \(a=\frac{x}{y};b=\frac{y}{z};c=\frac{z}{x}\) thì cần cm
\(Σ\frac{a^2}{\left(ab+1\right)^2}=Σ\left(\frac{xz}{y\left(x+z\right)}\right)^2\ge\frac{3}{4}\)
\(Σ\left(\frac{xz}{y\left(x+z\right)}\right)^2\ge\frac{1}{3}\left(\frac{xz}{y\left(x+z\right)}\right)^2\)
Theo C-S \(Σ\frac{xz}{y\left(x+z\right)}=\frac{\left(xz\right)^2}{xyz\left(x+z\right)}\ge\frac{\left(Σxy\right)^2}{2xy\left(Σx\right)}\ge\frac{3}{2}\)
\(\frac{1}{3}\cdot\left(Σ\frac{xz}{y\left(x+z\right)}\right)^2\ge\frac{1}{3}\cdot\frac{9}{4}=\frac{3}{4}\)
Đúng hay ta có ĐPCM xyar ra khi a=b=c=1
(b+c)^2 <= 2(b^2+c^2) (C-S)
=> A >= a^2/(a^2+2b^2+2c^2) +....+....
=a^4/(a^4+2a^2b^2+2a^2c^2)+....+....
>= (a^2+b^2+c^2)^2/(a^4+b^4+c^4+4a^2b^2+4b^2c^2+4c^2a^2) (Engel)
=(a^2+b^2+c^2)^2/(a^2+b^2+c^2)^2+2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)
Ta Cm A >= 3/5
điều này tương đương 5(a^2+b^2+c^2)^2 >= 3(a^2+b^2+c^2)^2+6(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)
<=>......<=>a^4+b^4+c^4 >= a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2 (đúng theo AM-GM)