Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta chứng minh BĐT sau:
Ta có: \(x\left(3-4x^2\right)=-4x^3+3x-1+1=1-\left(x+1\right)\left(2x-1\right)^2\le1\)
\(\Rightarrow\dfrac{4x^2}{x\left(3-4x^2\right)}\ge\dfrac{4x^2}{1}=4x^2\)
Tương tự và cộng lại:
\(Q\ge4\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge4\left(xy+yz+zx\right)=3\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\dfrac{1}{2}\)
\(\left(a-b\right)^2\ge0\Rightarrow\left(a+b\right)^2\le2\left(a^2+b^2\right)\). Dấu "=" xảy ra khi a = b.
\(\left(x-2y\right)^2\le2\left[x^2+\left(-2y\right)^2\right]=2\left(x^2+4y^2\right)=2\)\(\Rightarrow\left|x-2y\right|\le\sqrt{2}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(x=-2y\text{ và }x^2+4y^2=1\Leftrightarrow\left(x;y\right)=......\)
Theo bất đẳng thức Bunhicốpxki ta có \(\left(x^2+4y^2\right)\left(4+1\right)\ge\left(2x+2y\right)^2=4\left(x+y\right)^2\to\left(x+y\right)^2\le\frac{5}{4}.\) Từ đây ta suy ra \(\left|x+y\right|\le\frac{\sqrt{5}}{2}\to-\frac{\sqrt{5}}{2}\le x+y\le\frac{\sqrt{5}}{2}.\)
Ta thấy \(x+y=\frac{\sqrt{5}}{2}\) khi \(x=4y=\frac{2}{\sqrt{5}}\) và \(x+y=-\frac{\sqrt{5}}{2}\) khi \(x=4y=-\frac{2}{\sqrt{5}}\) .
Do đó giá trị lớn nhất của \(D\) là \(\frac{\sqrt{5}}{2}\) và giá trị bé nhất của \(D\) là \(-\frac{\sqrt{5}}{2}.\)
\(f\left(x;y\right)=\frac{8xy-16y^2}{x^2+4y^2}\)
\(+y=0:\text{ }f=\frac{-16y^2}{4y^2}=-4\forall y\ne0.\)
\(+y\ne0:\text{ }f=\frac{8.\left(\frac{x}{y}\right)-16}{\left(\frac{x}{y}\right)^2+4}=\frac{8t-16}{t^2+4}=m\text{ }\left(t=\frac{x}{y}\in R\right)\)
\(\Rightarrow mt^2+4m=8t-16\Leftrightarrow mt^2-8t+4m+16=0\text{ }\left(1\right)\)
\(+m=0\rightarrow pt:-8t+16=0\Leftrightarrow t=2.\)
\(+m\ne0\)
\(\left(1\right)\) có nghiệm \(\Leftrightarrow\Delta'\ge0\Leftrightarrow......\Leftrightarrow m\in......\)
Đối chiếu với các giá trị ở trên để tìm ra min, max.