Question

[Trần Đức Thắng]

Tìm m để pt có nghiệm duy nhất   \(\sqrt{x+1}+\sqrt{3-x}=m\)

Answer 1

[Trần Thị Loan]

Đặt \(\sqrt{x+1}=a;\sqrt{3-x}=b\) (a ;b \(\ge\) 0)

=> a² + b² = 4   (1)

PT <=> a + b = m   (2)

Để PT đã cho có nghiệm duy nhất <=> hệ pt (1)(2) có duy nhất 1 nghiệm (a; b) và a; b \(\ge\) 0 

(-) a; b \(\ge\) 0 <=> a+ b \(\ge\) 0 và a.b \(\ge\) 0 <=> m \(\ge\) 0 và ab = \(\frac{\left(a+b\right)^2-\left(a^2+b^2\right)}{2}=\frac{m^2-4}{2}\) \(\ge\) 0 

<=> m \(\ge\) 0 và m² - 4 \(\ge\) 0  (**) 

(-) Từ (2) => b = m - a . Thay vào (1) ta được :  a² + (m - a)² = 4 <=> 2a² - 2am + m² - 4 = 0   (*)

Để hệ có 1 nghiệm (a; b) với a; b \(\ge\) 0 <=> (*) có duy nhất 1 nghiệm \(\ge\) 0 hoặc (*) có 2 nghiệm trái dấu

+) (*) có nghiệm duy nhất <=> \(\Delta\)' = 0 <=> m² - 2(m² - 4) = 0 <=> m² = 8 <=> m = \(2\sqrt{2}\) hoặc m = - \(2\sqrt{2}\)

khi đó, (*) có nghiệm là a = m => m \(\ge\) 0 

Vậy m = \(2\sqrt{2}\) thỏa mãn (**)

+) (*) có 2 nghiệm phân biệt trái dấu <=> (m² - 4)/2 < 0 <=> m² - 4 < 0 

Đối chiếu với điềm kiện (**) => m = \(\phi\)

Vậy Với m = \(2\sqrt{2}\) thì PT đã chp có nghiệm duy nhất