Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Có \(\left(x+y+z\right)^3-\left(x^3+y^3+z^3\right)\)
\(=\left[\left(x+y\right)+z\right]^3-\left(x^3-y^3-z^3\right)\)
\(=\left(x+y\right)^3+3\left(x+y\right)^2z+3\left(x+y\right)z^2+z^3-\left(x^3+y^3+z^3\right)\)
\(=3xy\left(x+y\right)+3\left(x+y\right)^2z+3\left(x+y\right)z^2\)
\(=3\left(x+y\right)\left[xy+\left(x+y\right)z+z^2\right]\)
\(=3\left(x+y\right)\left[x\left(y+z\right)+z\left(y+z\right)\right]\)
\(=3\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)\)
Do x,y,z nguyên và cùng tính chẵn lẻ \(\Rightarrow\left(x+y\right);\left(y+z\right);\left(z+x\right)\) đều là ba số chẵn
\(\Rightarrow\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)⋮8\)
mà (3;8)=1 và 3.8=24
\(\Rightarrow3\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)⋮24\) (đpcm)
Có (x+y+z)3−(x3+y3+z3)(x+y+z)3−(x3+y3+z3)
=[(x+y)+z]3−(x3−y3−z3)=[(x+y)+z]3−(x3−y3−z3)
=(x+y)3+3(x+y)2z+3(x+y)z2+z3−(x3+y3+z3)=(x+y)3+3(x+y)2z+3(x+y)z2+z3−(x3+y3+z3)
=3xy(x+y)+3(x+y)2z+3(x+y)z2=3xy(x+y)+3(x+y)2z+3(x+y)z2
=3(x+y)[xy+(x+y)z+z2]=3(x+y)[xy+(x+y)z+z2]
=3(x+y)[x(y+z)+z(y+z)]=3(x+y)[x(y+z)+z(y+z)]
=3(x+y)(y+z)(x+z)=3(x+y)(y+z)(x+z)
Do x,y,z nguyên và cùng tính chẵn lẻ ⇒(x+y);(y+z);(z+x)⇒(x+y);(y+z);(z+x) đều là ba số chẵn
⇒(x+y)(y+z)(z+x)⋮8⇒(x+y)(y+z)(z+x)⋮8
mà (3;8)=1 và 3.8=24
⇒3(x+y)(y+z)(z+x)⋮24⇒3(x+y)(y+z)(z+x)⋮24 (đpcm)
Đặt \(A=x^3+y^3+z^3+axyz\)
Gọi \(Q\) và \(r\) lần lượt là thương và dư của phép chia \(A=x^3+y^3+z^3+axyz\) cho \(\left(x+y+z\right)\)
Thực hiện phép chia \(A=x^3+y^3+z^3+axyz\) \(:\) \(\left(x+y+z\right)\), ta được:
\(Q=x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz-yz\left(a+2\right)\) và \(r=-yz\left(x+z\right)\left(a+3\right)\)
Khi đó, \(A=x^3+y^3+z^3+axyz=\left(x+y+z\right)\left[x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz-yz\left(a+2\right)\right]+\left[-yz\left(x+z\right)\left(a+3\right)\right]\)
Muốn \(A\) chia hết cho \(x+y+z\) thì đa thức dư phải đồng nhất bằng \(0\), tức \(r=0\)
Hay \(-yz\left(x+z\right)\left(a+3\right)=0\) (với mọi \(x,\) \(y,\) \(z\in Q\) )
Do đó, \(a+3=0\) \(\Rightarrow\) \(a=-3\)
Vậy, hằng số \(a\) cần tìm là \(-3\)
Đặt y+z-x=a
x+z-y=b
x+y-z=c
Ta thấy a+b+c=y+z-x+x+z-y+x+y-z=x+y+z
Ta có: \(P=\left(a+b+c\right)^3-a^3-b^3-c^3\)
\(=\left(a+b\right)^3+c^3+3\left(a+b\right)^2c+3\left(a+b\right)c^2-a^3-b^3-c^3\)
\(=3a^2b+3ab^2+3\left(a+b\right)^2c+3\left(a+b\right)c^2\)
\(=3ab\left(a+b\right)+3\left(a+b\right)^2c+3\left(a+b\right)c^2\)
\(=3\left(a+b\right)\left(ab+ac+bc+c^2\right)\)
\(=3\left(a+b\right)\left(a+c\right)\left(b+c\right)\)
\(=3\cdot2z\cdot2y\cdot2x\)
\(=24xyz⋮24\)
Vậy P chia hết cho 24
