K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
XO
3 tháng 2 2023
1) Áp dụng bđt Cauchy cho 3 số dương ta có
\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x}+x^3\ge4\sqrt[4]{\dfrac{1}{x}.\dfrac{1}{x}.\dfrac{1}{x}.x^3}=4\) (1)
\(\dfrac{3}{y^2}+y^2\ge2\sqrt{\dfrac{3}{y^2}.y^2}=2\sqrt{3}\) (2)
\(\dfrac{3}{z^3}+z=\dfrac{3}{z^3}+\dfrac{z}{3}+\dfrac{z}{3}+\dfrac{z}{3}\ge4\sqrt[4]{\dfrac{3}{z^3}.\dfrac{z}{3}.\dfrac{z}{3}.\dfrac{z}{3}}=4\sqrt{3}\) (3)
Cộng (1);(2);(3) theo vế ta được
\(\left(\dfrac{3}{x}+\dfrac{3}{y^2}+\dfrac{3}{z^3}\right)+\left(x^3+y^2+z\right)\ge4+2\sqrt{3}+4\sqrt{3}\)
\(\Leftrightarrow3\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^3}\right)\ge3+4\sqrt{3}\)
\(\Leftrightarrow P\ge\dfrac{3+4\sqrt{3}}{3}\)
Dấu "=" xảy ra <=> \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}=x^3\\\dfrac{3}{y^2}=y^2\\\dfrac{3}{z^3}=\dfrac{z}{3}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=\sqrt[4]{3}\\z=\sqrt{3}\end{matrix}\right.\) (thỏa mãn giả thiết ban đầu)
XO
3 tháng 2 2023
2) Ta có \(4\sqrt{ab}=2.\sqrt{a}.2\sqrt{b}\le a+4b\)
Dấu"=" khi a = 4b
nên \(\dfrac{8}{7a+4b+4\sqrt{ab}}\ge\dfrac{8}{7a+4b+a+4b}=\dfrac{1}{a+b}\)
Khi đó \(P\ge\dfrac{1}{a+b}-\dfrac{1}{\sqrt{a+b}}+\sqrt{a+b}\)
Đặt \(\sqrt{a+b}=t>0\) ta được
\(P\ge\dfrac{1}{t^2}-\dfrac{1}{t}+t=\left(\dfrac{1}{t^2}-\dfrac{2}{t}+1\right)+\dfrac{1}{t}+t-1\)
\(=\left(\dfrac{1}{t}-1\right)^2+\dfrac{1}{t}+t-1\)
Có \(\dfrac{1}{t}+t\ge2\sqrt{\dfrac{1}{t}.t}=2\) (BĐT Cauchy cho 2 số dương)
nên \(P=\left(\dfrac{1}{t}-1\right)^2+\dfrac{1}{t}+t-1\ge\left(\dfrac{1}{t}-1\right)^2+1\ge1\)
Dấu "=" xảy ra <=> \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{t}-1=0\\t=\dfrac{1}{t}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow t=1\)(tm)
khi đó a + b = 1
mà a = 4b nên \(a=\dfrac{4}{5};b=\dfrac{1}{5}\)
Vậy MinP = 1 khi \(a=\dfrac{4}{5};b=\dfrac{1}{5}\)
TC
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
4 tháng 4 2021
1.
\(f\left(x\right)=\dfrac{4}{x}+\dfrac{x-1+1}{1-x}=\dfrac{2^2}{x}+\dfrac{1}{1-x}-1\ge\dfrac{\left(2+1\right)^2}{x+1-x}-1=8\)
\(f\left(x\right)_{min}=8\) khi \(x=\dfrac{2}{3}\)
2.
\(f\left(x\right)=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{1-x}\ge\dfrac{4}{x+1-x}=4\)
\(f\left(x\right)_{min}=4\) khi \(x=\dfrac{1}{2}\)
11 tháng 1 2022
f(x)=4x+x−1+11−x=22x+11−x−1≥(2+1)2x+1−x−1=8f(x)=4x+x−1+11−x=22x+11−x−1≥(2+1)2x+1−x−1=8
f(x)min=8f(x)min=8 khi x=23x=23
2.
f(x)=1x+11−x≥4x+1−x=4f(x)=1x+11−x≥4x+1−x=4
f(x)min=4f(x)min=4 khi x=12
NH
0
XT
1
1 tháng 4 2022
\(x+2y=6\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{6}{2}=\dfrac{x}{2}+y\)
\(P+\dfrac{6}{2}=\dfrac{8}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{x}{2}+y\)
\(\Leftrightarrow P+\dfrac{6}{2}=\left(\dfrac{8}{x}+\dfrac{1}{y}\right)+\left(\dfrac{1}{y}+y\right)\)
vì x;y là số thực dương ,áp dụng BĐT Côsi ta có :
\(\dfrac{8}{x}+\dfrac{x}{2}=2\sqrt{\dfrac{8}{x}+\dfrac{x}{2}}=2\sqrt{4}=2.2=4\)
\(\dfrac{1}{y}+y=2\sqrt{\dfrac{1}{y}+y}=2\sqrt{1}=2.1=2\)
nên \(P+\dfrac{6}{2}\ge6\)
\(\Leftrightarrow P\ge6-\dfrac{6}{2}\)
\(\Leftrightarrow P\ge3\)
vậy \(P_{min}=3\)
12 tháng 1 2021
a) \(f(x)\geq 2\sqrt{x^2.\frac{16}{x^2}}=2\sqrt{16}=2.4=8\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(x^2=\frac{16}{x^2}\)
\(\Leftrightarrow x=2\)
Vậy GTNN của \(f(x)\) bằng 8 khi x=2
b) \(f(x)=\frac{1-x+x}{x}+\frac{2-2x+2x}{1-x}\)
\(f(x)=\frac{1-x}{x}+\frac{2x}{1-x}+3\)
\(f(x)\geq 2\sqrt{\frac{1-x}{x}.\frac{2x}{1-x}}+3=2\sqrt{2}+3\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(\frac{1-x}{x}=\frac{2x}{1-x}\)
\(\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}\)
Vậy GTNN của \(f(x)\) bằng \(2\sqrt{2} +3\) khi \(x=\frac{1}{2}\)
NL
2
26 tháng 2 2021
\(\Rightarrow f\left(x\right)=\dfrac{7}{4}x+\dfrac{1}{8}x+\dfrac{1}{8}x+\dfrac{8}{x^2}\)
Áp dụng bđt Cô-si :
\(\dfrac{1}{8}x+\dfrac{1}{8}x+\dfrac{8}{x^2}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{1}{8}x\cdot\dfrac{1}{8}x\cdot\dfrac{8}{x^2}}=\dfrac{3}{2}\)
\(\Rightarrow f\left(x\right)=\dfrac{7}{4}x+\dfrac{1}{8}x+\dfrac{1}{8}x+\dfrac{8}{x^2}\ge7+\dfrac{3}{2}=\dfrac{17}{2}\)
Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow x=4\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
26 tháng 2 2021
\(f\left(x\right)=\dfrac{x}{8}+\dfrac{x}{8}+\dfrac{8}{x^2}+\dfrac{7}{4}x\ge3\sqrt[3]{\dfrac{8x^2}{64x^2}}+\dfrac{7}{4}.4=\dfrac{17}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=4\)
BA
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
7 tháng 12 2018
\(P=\dfrac{4}{x}+1+\dfrac{9}{1-x}=\dfrac{4}{x}+25x+25\left(1-x\right)+\dfrac{9}{1-x}-24\)
\(\Rightarrow P\ge2\sqrt{\dfrac{4}{x}.25x}+2\sqrt{25\left(1-x\right).\dfrac{9}{1-x}}-24\)
\(\Rightarrow P\ge20+30-24=26\)
\(\Rightarrow P_{min}=26\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{4}{x}=25x\\25\left(1-x\right)=\dfrac{9}{1-x}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x=\dfrac{2}{5}\)
HP
5 tháng 1 2021
1.
Đặt \(x^2-2x+m=t\), phương trình trở thành \(t^2-2t+m=x\)
Ta có hệ \(\left\{{}\begin{matrix}x^2-2x+m=t\\t^2-2t+m=x\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left(x-t\right)\left(x+t-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=t\\x=1-t\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=x^2-2x+m\\x=1-x^2+2x-m\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=-x^2+3x\\m=-x^2+x+1\end{matrix}\right.\)
Phương trình hoành độ giao điểm của \(y=-x^2+x+1\) và \(y=-x^2+3x\):
\(-x^2+x+1=-x^2+3x\)
\(\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{2}\Rightarrow y=\dfrac{5}{4}\)
Đồ thị hàm số \(y=-x^2+3x\) và \(y=-x^2+x+1\):
Dựa vào đồ thị, yêu cầu bài toán thỏa mãn khi \(m< \dfrac{5}{4}\)
Mà \(m\in\left[-10;10\right]\Rightarrow m\in[-10;\dfrac{5}{4})\)
8 tháng 1 2021
Có cách nào lm bài này bằng cách lập bảng biến thiên k ạ
\(Q=x^2+\dfrac{4}{x}+\dfrac{4}{x}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{16x^2}{x^2}}=3\sqrt[3]{16}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=\sqrt[3]{4}\)