Câu hỏi của Nhi Trần

Question

Tìm GTNN của A= (x-1)4+(x-3)4+6(x-1)2(x-3)2

Mr Lazy · Accepted Answer

$\text {Đặt } a = x-1, b = 3-x.\
\text {Ta có: } a + b = 2.\
A = a^4 + b^4 + 6a^2b^2 = (a^2+b^2)^2 + (2ab)^2\
\ge\frac{1}{2} (a^2+b^2+2ab)^2 = \frac{1}{2}(a+b)^4 = 8$$\text {Theo bất đẳng thức } 2(a^2+b^2) \ge (a+b)^2$$\text {Đẳng thức xảy ra khi } a = b \Leftrightarrow x = 2.$Cách khác:Nếu "dự đoán" được đẳng thức xảy ra khi a = b, hay x = 2 mà chưa chứng minh được như trên, có thể làm như sau:+ Tính A tại x = 2 (A = 8)+ Phân tích (A - 8) thành nhân tử của (x-2)Cụ thể$A - 8 = 8(x^4-8x^3+24x^2-32x+16)\
= (x-2)^4 \ge 0\
\Rightarrow A \ge 8$Câu trả lời: $\text {Đặt } a = x-1, b = 3-x.\
\text {Ta có: } a + b = 2.\
A = a^4 + b^4 + 6a^2b^2 = (a^2+b^2)^2 + (2ab)^2\
\ge\frac{1}{2} (a^2+b^2+2ab)^2 = \frac{1}{2}(a+b)^4 = 8$$\text {Theo bất đẳng thức } 2(a^2+b^2) \ge (a+b)^2$$\text {Đẳng thức xảy ra khi } a = b \Leftrightarrow x = 2.$Cách khác:Nếu "dự đoán" được đẳng thức xảy ra khi a = b, hay x = 2 mà chưa chứng minh được như trên, có thể làm như sau:+ Tính A tại x = 2 (A = 8)+ Phân tích (A - 8) thành nhân tử của (x-2)Cụ thể$A - 8 = 8(x^4-8x^3+24x^2-32x+16)\
= (x-2)^4 \ge 0\
\Rightarrow A \ge 8$

Chúng tôi đề xuất

Tài nguyên

Ứng dụng mobile

Bảng xếp hạng

Các khóa học có thể bạn quan tâm

Yêu cầu VIP