Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
có: \(\dfrac{1}{x^2+y^2}=\dfrac{1}{\left(x+y\right)^2-2xy}=\dfrac{1}{1-2xy}\)(1)
có \(\dfrac{1}{xy}=\dfrac{2}{2xy}\left(2\right)\)
từ(1)(2)=>A=\(\dfrac{1}{1-2xy}+\dfrac{2}{2xy}\ge\dfrac{\left(1+\sqrt{2}\right)^2}{1}=\left(1+\sqrt{2}\right)^2\)
=>Min A=(1+\(\sqrt{2}\))^2
Bổ sung điều kiện: \(x,y>0\)
\(A=\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}+\dfrac{xy}{x^2+y^2}\\ A=\dfrac{8}{9}\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\right)+\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\right)+\dfrac{xy}{x^2+y^2}\\ A=\dfrac{8}{9}\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\right)+\left(\dfrac{x^2+y^2}{9xy}+\dfrac{xy}{x^2+y^2}\right)\)
Áp dụng BĐT cosi:
\(A\ge\dfrac{8}{9}\cdot2\sqrt{\dfrac{xy}{xy}}+2\sqrt{\dfrac{xy\left(x^2+y^2\right)}{9xy\left(x^2+y^2\right)}}=\dfrac{16}{9}+\dfrac{2}{3}=\dfrac{22}{9}\)
Vậy \(A_{min}=\dfrac{22}{9}\Leftrightarrow x=y\)
\(\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)=1+2\left(ab+bc+ca\right).\)
\(\Rightarrow A=\left(ab+bc+ca\right)=\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)^2-\frac{1}{2}\ge-\frac{1}{2}\)với mọi a,b,c
Vậy A nhỏ nhất bằng -1/2 khi a+b+c =0
Ta có : \((x-\dfrac{1}{3})^2+(y-\dfrac{1}{3})^2+(z-\dfrac{1}{3})^2>=0\)
\(=>x^2+y^2+z^2-\dfrac{2}{3}(x+y+z)+\dfrac{1}{3}\ge0\)
\(=>x^2+y^2+z^2+\dfrac{1}{3}\ge\dfrac{2}{3}(x+y+z)\)
\(=>1+\dfrac{1}{3}=\dfrac{4}{3}\ge\dfrac{2}{3}(x+y+z)\)
\(=>x+y+z\le2\)
Do đó : \((a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)=1+2(ab+bc+ca).\)
\(=>A=(ab+ac+bc)=\dfrac{1}{2}(a+b+c)^2-\dfrac{1}{2}\le\dfrac{1}{2}.2^2-\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2}\)
\(P=\dfrac{6x+6y+2xy}{2}=\dfrac{6x+6y+2xy+10-10}{2}\)
\(=\dfrac{6x+6y+2xy+2\left(x^2+y^2\right)+6}{2}-5\)
\(=\dfrac{\left(x+y+2\right)^2+\left(x+1\right)^2+\left(y+1\right)^2}{2}-5\ge-5\)
\(P_{min}=-5\) khi \(x=y=-1\)
Thay \(1=\left(x+y\right)^3\)vào biểu thức A ta có :
\(A=\frac{\left(x+y\right)^3}{x^3+y^3}+\frac{\left(x+y\right)^3}{xy}=\frac{x^3+y^3+3xy\left(x+y\right)}{x^3+y^3}+\frac{x^3+y^3+3xy\left(x+y\right)}{xy}\)
\(=1+\frac{3xy}{x^3+y^3}+3+\frac{x^3+y^3}{xy}\)
\(=4+\left(\frac{3xy}{x^3+y^3}+\frac{x^3+y^3}{xy}\right)\ge4+2\sqrt{\frac{3xy\left(x^3+y^3\right)}{xy\left(x^3+y^3\right)}}\)\(=4+2\sqrt{3}=\left(\sqrt{3}+1\right)^2\)(chỗ này áp dụng cosi 2 số)
Lời giải:
$A=x^3+y^3+xy=(x+y)^3-3xy(x+y)+xy$
$=1-3xy+xy=1-2xy=(x+y)^2-2xy=x^2+y^2$
Áp dụng BĐT Cô-si:
$x^2+\frac{1}{4}\geq x$
$y^2+\frac{1}{4}\geq y$
$\Rightarrow A=x^2+y^2\geq x+y-\frac{1}{2}=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$
Vậy $A_{\min}=\frac{1}{2}$
Giá trị này đạt tại $x=y=\frac{1}{2}$