Question

[nguyen kim chi]

tìm các số nguyên x;y;z thỏa mãn điều kiện   x^2-3xy+3y^2-z^2=31

                                                                                  x^2+xy+8z^2=100

Answer 1

[Thầy Giáo Toán]

Lần sau bạn viết cẩn thận hơn nhé, như vậy là tôn trọng người khác, và người khác sẽ giúp bạn.

Từ phương trình đầu ta suy ra \(x^2-z^2-1\vdots3\to z\vdots3\) và \(x\)  không chia hết cho 3. (Vì nếu \(x\vdots3\) thì \(z^2+1\vdots3\), mâu thuẫn do số chính phương chia 3 chỉ dư 0,1).

Công hai phương trình cho ta

\(2x^2-2xy+3y^2+7z^2=131\to7z^2\le131\to z^2\le16\to z^2\le9\to z^2=0,9.\) (vì \(z\vdots3.\))

Ta xét hai trường hợp

Trường hợp 1.  Nếu \(z^2=0\to\) \(x^2-3xy+3y^2=31,x^2+xy=100.\) Từ đây ta được

\(100\left(x^2-3xy+3y^2\right)=31\left(x^2+xy\right)\to69x^2-331xy+300y^2=0.\) Nếu \(y\ne0\) thì chia cả hai vế cho \(y^2\) ta đưa về phương trình bậc hai \(69t^2-331t+300=0\) với \(t=\frac{x}{y}.\) Tuy nhiên phương trình này không có nghiệm hữu tỉ, loại.  Vậy \(y=0\to x=0\)  (loại).

Trường hợp 2.  Nếu \(z^2=9\to\) \(x^2-3xy+3y^2=40,x^2+xy=28.\) Suy ra\(10\left(x^2+xy\right)=7\left(x^2-3xy+3y^2\right)\to3x^2-31xy-21y^2=0\). Tương tự trên ta dẫn tới \(y=0\to x=0\) (loại).

Tóm lại hệ vô nghiệm.