Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Chọn A
[Phương pháp trắc nghiệm]
y ' = 3 x 2 - 6 x - m
Hàm số có 2 cực trị m > -3 , gọi x 1 , x 2 là hai nghiệm của phương trình y ' = 0 ,
ta có: x 1 + x 2 = 2
Bấm máy tính
Hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là
Gọi I là trung điểm của AB
⇒ I ( 1 ; - m )
Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là
Yêu cầu bài toán
Kết hợp với điều kiện thì m = 0
1.
Đồ thị hàm bậc 3 có 2 điểm cực trị nằm về 2 phía trục hoành khi và chỉ khi \(f\left(x\right)=0\) có 3 nghiệm phân biệt
\(\Leftrightarrow x^3+3x^2+mx+m-2=0\) có 3 nghiệm pb
\(\Leftrightarrow x^3+3x^2-2+m\left(x+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(x^2+2x-2\right)+m\left(x+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(x^2+2x+m-2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-1\\x^2+2x+m-2=0\left(1\right)\end{matrix}\right.\)
Bài toán thỏa mãn khi (1) có 2 nghiệm pb khác -1
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}1-2+m-2\ne0\\\Delta'=1-\left(m-2\right)>0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow m< 3\)
2.
Pt hoành độ giao điểm:
\(\dfrac{2x-2}{x+1}=2x+m\)
\(\Rightarrow2x-2=\left(2x+m\right)\left(x+1\right)\)
\(\Leftrightarrow2x^2+mx+m+2=0\) (1)
d cắt (C) tại 2 điểm pb \(\Rightarrow\) (1) có 2 nghiệm pb
\(\Rightarrow\Delta=m^2-8\left(m+2\right)>0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m>4+4\sqrt{2}\\m< 4-4\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)
Khi đó, theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_A+x_B=-\dfrac{m}{2}\\x_Ax_B=\dfrac{m+2}{2}\end{matrix}\right.\)
\(y_A=2x_A+m\) ; \(y_B=2x_B+m\)
\(\Rightarrow AB^2=\left(x_A-x_B\right)^2+\left(y_A-y_B\right)^2=5\)
\(\Leftrightarrow\left(x_A-x_B\right)^2+\left(2x_A-2x_B\right)^2=5\)
\(\Leftrightarrow\left(x_A-x_B\right)^2=1\)
\(\Leftrightarrow\left(x_A+x_B\right)^2-4x_Ax_B=1\)
\(\Leftrightarrow\left(-\dfrac{m}{2}\right)^2-4\left(\dfrac{m+2}{2}\right)=1\)
\(\Leftrightarrow m^2-8m-20=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=10\\m=-2\end{matrix}\right.\)
Ta có : \(y'=3x^2-6x+m^2\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow3x^2-6x+m^2=0\left(1\right)\)
Hàm số có cực trị \(\Leftrightarrow\left(1\right)\) có 2 nghiệm phân biệt \(x_1;x_2\)
\(\Leftrightarrow\Delta'=3\left(3-m^2\right)>0\Leftrightarrow-\sqrt{3}< m< \sqrt{3}\)
Phương trình đường thẳng d' đi qua các điểm cực trị là : \(y=\left(\frac{2}{3}m^2-2\right)x+\frac{1}{3}m^2\)
=> Các điểm cực trị là :
\(A\left(x_1;\left(\frac{2}{3}m^2-2\right)x_1+\frac{1}{3}m^2+3m\right);B\left(x_2;\left(\frac{2}{3}m^2-2\right)x_2+\frac{1}{3}m^2+3m\right);\)
Gọi I là giao điểm của hai đường thẳng d và d' :
\(\Rightarrow I\left(\frac{2m^2+6m+15}{15-4m^2};\frac{11m^2+3m-30}{15-4m^2}\right)\)
A và B đối xứng đi qua d thì trước hết \(d\perp d'\Leftrightarrow\frac{2}{3}m^2-2=-2\Leftrightarrow m=0\)
Khi đó \(I\left(1;-2\right);A\left(x_1;-2x_1\right);B\left(x_2;-2x_2\right)\Rightarrow I\) là trung điểm của AB=> A và B đối xứng nhau qua d
Vậy m = 0 là giá trị cần tìm
- Với \(m=0\Rightarrow y=-x^2-2\) chỉ có cực đại (thỏa mãn)
- Với \(m\ne0\) hàm chỉ có cực đại khi:
\(\left\{{}\begin{matrix}m< 0\\m\left(2m-1\right)\ge0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow m< 0\)
Vậy \(m\le0\)
Chọn D
Ta có y ' = 3 x 2 - 6 m x + m - 1
Hàm số có cực đại, cực tiểu khi và chỉ khi PT y ' = 0 có hai nghiệm phân biệt
Điều này tương đương
Hai điểm cực trị có hoành độ dương
Vậy các giá trị cần tìm của m là m >1
Chọn A