Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\Leftrightarrow\frac{S_{HIK}}{S_{ABC}}=1-\cos^2A-\cos^2B-\cos^2C\)
-Ta có: tam giác AIB vuông tại I \(\Rightarrow\cos A=\frac{AI}{AB}\)
Tam giác ACK vuông tại K \(\Rightarrow\cos A=\frac{AK}{AC}\)
\(\Rightarrow\cos^2A=\frac{AI}{AB}.\frac{AK}{AC}=\frac{\frac{1}{2}AI.AK}{\frac{1}{2}AB.AC}=\frac{\frac{1}{2}AI.AK.\cos A}{\frac{1}{2}AB.AC.\cos A}=\frac{S_{AKI}}{S_{ABC}}\)
Tương tự: \(\cos^2B=\frac{S_{BHK}}{S_{ABC}};\text{ }\cos^2C=\frac{S_{CIH}}{S_{ABC}}\)
\(\Rightarrow1-\cos^2A-\cos^2B-\cos^2C=\frac{S_{ABC}-S_{AKI}-S_{BHK}-S_{CIH}}{S_{ABC}}=\frac{S_{HIK}}{S_{ABC}}\text{ (đpcm)}\)
a)
Ta có:
Tam giác AKC vuông tại K \(\Rightarrow sinA=\frac{KC}{AC}\)
\(VT=S_{ABC}=\frac{1}{2}.AB.CK=\frac{1}{2}.AB.\left(AC.\frac{KC}{AC}\right)=\frac{1}{2}.AB.AC.sinA=VP\)(đpcm)
b)
\(\left(1-cos^2A-cos^2B-cos^2C\right).S_{ABC}\)
\(=\left(1-\frac{KC^2}{AC^2}-\frac{BI^2}{AB^2}-\frac{AH^2}{BC^2}\right).S_{ABC}\)
\(=\left[\left(1-\frac{AH^2}{BC^2}\right)-\left(\frac{KC^2}{AC^2}+\frac{BI^2}{AB^2}\right)\right].S_{ABC}\)
\(=\left(\left(1-\frac{AH^2}{BC^2}\right)-\frac{AB^2.KC^2-AC^2.BI^2}{AB^2.AC^2}\right).S_{ABC}\)
\(=\left(\left(1-\frac{AH^2}{BC^2}\right)-\frac{S^2_{ABC}-S^2_{ABC}}{AB^2.AC^2}\right).S_{ABC}\)
\(=\left(1-\frac{AH^2}{BC^2}\right).S_{ABC}=S_{ABC}-\frac{AH^2}{BC^2}.S_{ABC}\)
a,Áp dụng ht trong tam giác vuông AIB, AKC có:
\(tanA=\frac{AI}{AB}\) và \(cosA=\frac{AI}{AB}\)
\(tanA=\frac{AK}{AC}\)
=> \(\frac{AI}{AB}=\frac{AK}{AC}\) mà \(\widehat{A}\) chung
=>\(\Delta AKI\sim\Delta ACB\) (c-g-c)
=> \(\frac{S_{AKI}}{S_{ACB}}=\left(\frac{AI}{AB}\right)^2=cos^2A\)
=> \(S_{AIK}=cos^2A.S_{BCA}\)
b, Có \(\frac{S_{AKI}}{S_{ABC}}=cos^2A\)
CM tương tự câu a có: \(\frac{S_{KBH}}{S_{ABC}}=cos^2B\)
\(\frac{S_{CIH}}{S_{ABC}}=cos^2C\)
=> \(1-cos^2A-cos^2B-cos^2C=1-\frac{S_{AKI}}{S_{ABC}}-\frac{S_{KBH}}{S_{ABC}}-\frac{S_{CIH}}{S_{ABC}}=\frac{S_{ABC}-S_{KBH}-S_{CIH}-S_{AKI}}{S_{ABC}}=\frac{S_{IHK}}{S_{ABC}}\)
<=> \(S_{HIK}=\left(1-cos^2A-cos^2B-cos^2C\right)S_{ABC}\)
a. Ta có : \(\frac{S_{AEF}}{S_{ABE}}=\frac{AF}{AB};\frac{S_{AEB}}{S_{ABC}}=\frac{AE}{AC}\)
Như vậy \(\frac{S_{AEF}}{S_{ABC}}=\frac{AF}{AB}.\frac{AE}{AC}=\frac{AE}{AB}.\frac{AF}{AC}=cosA.cosA=cos^2A.\)
Từ đó ta có : \(S_{AEF}=S_{ABC}.cos^2A\)
b. Tương tự phần a ta có : \(S_{BEF}=S_{ABC}.cos^2B\); \(S_{CEF}=S_{ABC}.cos^2C\)
Như vậy \(S_{DEF}=S_{ABC}-S_{AEF}-S_{BEF}-S_{CEF}\)
Từ đó ta có: \(\frac{S_{DEF}}{S_{ABC}}=1-\left(cos^2A+cos^2B+cos^2C\right)\)
Chúc em học tốt :)))
Ta có \(S_{IHK}=S_{ABC}-S_{AIK}-S_{BKH}-S_{CIH}\)
\(\Rightarrow\frac{S_{IHK}}{S_{ABC}}=\frac{S_{ABC}-S_{AIK}-S_{BKH}-S_{CIH}}{S_{ABC}}\)
\(=1-\frac{S_{AIK}}{S_{ABC}}-\frac{S_{BKH}}{S_{ABC}}-\frac{S_{CIH}}{S_{ABC}}\)
Kẻ \(KK_1\perp AC\)
Ta có \(\frac{S_{AIK}}{S_{ABC}}=\frac{\frac{1}{2}KK_1\cdot AI}{\frac{1}{2}BI\cdot AC}=\frac{KK_1\cdot AI}{BI\cdot AC}\)
Do \(KK_1\)song song với \(BI\Rightarrow\frac{KK_1}{BI}=\frac{AK}{AB}\)
Nên : \(\frac{S_{AIK}}{S_{ABC}}=\frac{AI\cdot AK}{AC\cdot AB}\)
Trong tam giác vuông \(AKC,\)ta có :
\(\frac{AK}{AC}=\cos A\)
Trong tam giác vuông \(AIB,\)ta có
\(\frac{AI}{AB}=\cos A\)
rồi tiếp theo dễ rồi , bạn suy nghĩ tiếp nhá