Question

[Bùi Minh Tú]

SAT là một kỳ thi phổ biến nhằm sát hạch học sinh, sinh viên trong các kỳ thi tuyển sinh vào hệ đại học, cao đẳng tại Mỹ. Kỳ thi này được tiến hành và giám sát bởi hiệp hội College Board (một hiệp hội của các trường học và cao đẳng tại Mỹ). 

Phần thi SAT Reasoning Test (còn được biết đến là SAT- I) sẽ kiểm tra khả năng tư duy logic và phân tích vấn đề của các thí sinh với mức điểm từ 600 đến 2.400 điểm. Trong mức giới hạn điểm này thí sinh có số điểm từ 1.800 trở lên có nhiều cơ hội cạnh tranh hơn khi nộp vào các trường đại học danh tiếng và uy tín. Đối với những tường đại học trong top 50 của bảng xếp hạng thì các thí sinh cần có số điểm trên 2.000.

Năm 1982, kỳ thi này đã đưa ra một bài toán khiến nhiều người tranh cãi gay gắt. Theo đó, chỉ có 3/300.000 thí sinh tham dự kỳ thi SAT năm ấy đưa ra đáp án đúng. Con số này tương ứng với tỷ lệ 0,001%.

Nhiều năm trôi qua, bài toán này vẫn được đánh giá là siêu hóc búa, khiến nhiều người căng não mỗi khi nhắc lại. Theo đó, đề bài cụ thể như sau:

Bán kính hình tròn B gấp 3 lần bán kính hình tròn A. Nếu hình A lăn xung quanh hình B, nó phải thực hiện bao nhiêu vòng quay để trở lại điểm xuất phát?

=> Các phương án được đưa ra là 3/2, 3, 6, 9/2, 9 vòng.

Bài toán gây tranh cãi năm ấy

Rất nhiều người và cả phần lớn thí sinh dự kỳ thi SAT năm đó đều chọn phương án B là phương án trả lời đúng.

Nếu lấy hệ quy chiếu là vòng tròn A, nó chỉ tự quay quanh 3 vòng. Nhưng nếu hệ quy chiếu không nằm trên vòng A, nó đã quay được 4 vòng, vòng thứ tư là do vòng tròn B tặng thêm.

Ngày 25/5/1982, tờ Washington Post đã đăng tải 1 bài viết cho rằng cả 5 phương án trên đều sai. Theo lập luận của tác giả bài viết, câu hỏi nhắc đến "revolve" nghĩa là hình tròn A vừa tự xoay quanh nó vì xoay quanh hình tròn B. Đáp án thực sự của bài toán là 4 vòng. Như vậy cả 5 phương án lựa chọn không có phương án nào đúng.

Cách giải tham khảo của bài toán này như sau:

Cách 1: Quãng đường mà hình tròn A lăn được bằng quãng đường di chuyển của tâm hình tròn A. Tâm I của hình tròn A cách tâm hình tròn B một khoảng bằng 4 lần bán kính của hình tròn A (tương ứng, chu vi của đường tròn mà I vạch nên cũng gấp 4 lần chu vi hình A). Vì vậy, hình A phải thực hiện 4 vòng quay mới trở lại điểm xuất phát.

Cách 2: Dễ thấy chu vi hình B gấp 3 lần chu vi hình A. Chia đường tròn lớn thành 3 phần bằng nhau bởi 3 điểm M, N, P (hình vẽ), mỗi phần như vậy có độ dài bằng chu vi hình A. Khi hình A lăn từ M đến N theo chiều kim đồng hồ, bán kính nối tâm hình tròn A với điểm tiếp xúc giữa 2 hình tròn (bán kính màu đen) quét một góc 360⁰ 120^0.. Tương tự cho 2 phần còn lại, để hình A trở về điểm xuất phát thì bán kính màu đen quét 1 góc tổng cộng là 3x(360⁰ 120⁰)=4x360⁰, tức 4 vòng quay.