Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Câu 1:
Để ý rằng \((2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})=1\) nên nếu đặt
\(\sqrt{2+\sqrt{3}}=a\Rightarrow \sqrt{2-\sqrt{3}}=\frac{1}{a}\)
PT đã cho tương đương với:
\(ma^x+\frac{1}{a^x}=4\)
\(\Leftrightarrow ma^{2x}-4a^x+1=0\) (*)
Để pt có hai nghiệm phân biệt \(x_1,x_2\) thì pt trên phải có dạng pt bậc 2, tức m khác 0
\(\Delta'=4-m>0\Leftrightarrow m< 4\)
Áp dụng hệ thức Viete, với $x_1,x_2$ là hai nghiệm của pt (*)
\(\left\{\begin{matrix} a^{x_1}+a^{x_2}=\frac{4}{m}\\ a^{x_1}.a^{x_2}=\frac{1}{m}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a^{x_2}(a^{x_1-x_2}+1)=\frac{4}{m}\\ a^{x_1+x_2}=\frac{1}{m}(1)\end{matrix}\right.\)
Thay \(x_1-x_2=\log_{2+\sqrt{3}}3=\log_{a^2}3\) :
\(\Rightarrow a^{x_2}(a^{\log_{a^2}3}+1)=\frac{4}{m}\)
\(\Leftrightarrow a^{x_2}(\sqrt{3}+1)=\frac{4}{m}\Rightarrow a^{x_2}=\frac{4}{m(\sqrt{3}+1)}\) (2)
\(a^{x_1}=a^{\log_{a^2}3+x_2}=a^{x_2}.a^{\log_{a^2}3}=a^{x_2}.\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow a^{x_1}=\frac{4\sqrt{3}}{m(\sqrt{3}+1)}\) (3)
Từ \((1),(2),(3)\Rightarrow \frac{4}{m(\sqrt{3}+1)}.\frac{4\sqrt{3}}{m(\sqrt{3}+1)}=\frac{1}{m}\)
\(\Leftrightarrow \frac{16\sqrt{3}}{m^2(\sqrt{3}+1)^2}=\frac{1}{m}\)
\(\Leftrightarrow m=\frac{16\sqrt{3}}{(\sqrt{3}+1)^2}=-24+16\sqrt{3}\) (thỏa mãn)
Câu 2:
Nếu \(1> x>0\)
\(2017^{x^3}>2017^0\Leftrightarrow 2017^{x^3}>1\)
\(0< x< 1\Rightarrow \frac{1}{x^5}>1\)
\(\Rightarrow 2017^{\frac{1}{x^5}}> 2017^1\Leftrightarrow 2017^{\frac{1}{x^5}}>2017\)
\(\Rightarrow 2017^{x^3}+2017^{\frac{1}{x^5}}> 1+2017=2018\) (đpcm)
Nếu \(x>1\)
\(2017^{x^3}> 2017^{1}\Leftrightarrow 2017^{x^3}>2017 \)
\(\frac{1}{x^5}>0\Rightarrow 2017^{\frac{1}{x^5}}>2017^0\Leftrightarrow 2017^{\frac{1}{5}}>1\)
\(\Rightarrow 2017^{x^3}+2017^{\frac{1}{x^5}}>2018\) (đpcm)
\(log_7\left(4x^2-4x+1\right)-log_72x+4x^2+1=6x\)
\(\Leftrightarrow log_7\left(4x^2-4x+1\right)+4x^2-4x+1=log_72x+2x\)
\(\Rightarrow4x^2-4x+1=2x\)
\(\Rightarrow...\)
log7(4x2−4x+1)−log72x+4x2+1=6xlog7(4x2−4x+1)−log72x+4x2+1=6x
=log7(4x2−4x+1)+4x2−4x+1=log72x+2x⇔log7(4x2−4x+1)+4x2−4x+1=log72x+2x
=4x2−4x+1=2x⇒4x2−4x+1=2x
= 2x
\(f\left(1-x\right)+f\left(x\right)=\dfrac{9^{1-x}}{9^{1-x}+3}+\dfrac{9^x}{9^x+3}=\dfrac{9}{9+3.9^x}+\dfrac{9^x}{9^x+3}=\dfrac{3}{9^x+3}+\dfrac{9^x}{9^x+3}=1\)
\(\Rightarrow f\left(x\right)=1-f\left(1-x\right)\)
\(\Rightarrow f\left(cos^2x\right)=1-f\left(sin^2x\right)\)
Do đó:
\(f\left(3m+\dfrac{1}{4}sinx\right)+f\left(cos^2x\right)=1\)
\(\Leftrightarrow f\left(3m+\dfrac{1}{4}sinx\right)=f\left(sin^2x\right)\) (1)
Hàm \(f\left(x\right)=\dfrac{9^x}{9^x+3}\) có \(f'\left(x\right)=\dfrac{3.9^x.ln9}{\left(9^x+3\right)^2}>0\Rightarrow f\left(x\right)\) đồng biến trên R
\(\Rightarrow\left(1\right)\Leftrightarrow3m+\dfrac{1}{4}sinx=sin^2x\)
Đến đây chắc dễ rồi, biện luận để pt \(sin^2x-\dfrac{1}{4}sinx=3m\) có 8 nghiệm trên khoảng đã cho
a.
\(\left(\dfrac{1}{3}\right)^x=27\Rightarrow x=log_{\dfrac{1}{3}}27=-3\)
b.
\(4^x=\dfrac{\sqrt{2}}{8}\Rightarrow x=log_4\left(\dfrac{\sqrt{2}}{8}\right)=-\dfrac{5}{4}\)
c.
\(\left(0.2\right)^x=10\Rightarrow x=log_{0,2}10=-log_510\)
Giống bài trước, \(x=3+2\sqrt{2}\) là nghiệm
\(\Rightarrow y=\dfrac{mx+1}{x-m}\Rightarrow y'=\dfrac{-m^2-1}{\left(x-m\right)^2}\) nghịch biến trên miền xác định
\(\Rightarrow\max\limits_{\left[1;2\right]}y=y\left(1\right)=\dfrac{m+1}{1-m}=-2\Rightarrow m\)
\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{3}{4}\right)^x.\left(\dfrac{4}{3}\right)^{\dfrac{4}{x}}=\dfrac{9}{16}\)
\(\Rightarrow\left(\dfrac{3}{4}\right)^x.\left(\dfrac{3}{4}\right)^{-\dfrac{4}{x}}=\left(\dfrac{3}{4}\right)^2\)
\(\Rightarrow\left(\dfrac{3}{4}\right)^{x-\dfrac{4}{x}}=\left(\dfrac{3}{4}\right)^2\)
\(\Rightarrow x-\dfrac{4}{x}=2\)
\(\Rightarrow x^2-2x-4=0\)
Viet: \(x_1+x_2=2\)