Question

[Vy Anh Lê Hồ]

Làm đúng tôi tick cho

Answer 1

[Lê Song Phương]

Bài 5:

Ta có \(x^2+1=x^2+xy+yz+zx\) (vì \(xy+yz+zx=1\))

\(=x\left(x+y\right)+z\left(x+y\right)=\left(x+y\right)\left(x+z\right)\)

\(\Rightarrow\sqrt{x^2+1}=\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương \(x+y\)và \(x+z\), ta có:

\(\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\le\frac{x+y+x+z}{2}=\frac{2x+y+z}{2}=x+\frac{y+z}{2}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x^2+1}\le x+\frac{y+z}{2}\)

Tương tự, ta có: \(\sqrt{y^2+1}\le y+\frac{z+x}{2};\sqrt{z^2+1}\le z+\frac{x+y}{2}\)

Công vế theo vế của từng bất đẳng thức, ta có:

\(\sqrt{x^2+1}+\sqrt{y^2+1}+\sqrt{z^2+1}\le x+\frac{y+z}{2}+y+\frac{z+x}{2}+z+\frac{x+y}{2}\)

\(=x+y+z+\frac{y+z+z+x+x+y}{2}\)\(=x+y+z+\frac{2\left(x+y+z\right)}{2}=x+y+z+x+y+z=2\left(x+y+z\right)\)

Như vậy ta có điều phải chứng minh.

Answer 2

[Lê Song Phương]

Bài 4: Mình không vẽ hình vì nó bảo duyệt, không hiện được câu trả lời lên. Với lại mình sẽ chia bài này làm 3 câu trả lời cho 3 câu a,b,c cho ngắn. Dài quá nó cũng bảo duyệt.

a) Xét đường tròn (O) có CA là tiếp tuyến tại A của (O) \(\Rightarrow CA\perp OA\)tại A \(\Rightarrow CA\perp BA\)tại A \(\Rightarrow\Delta ABC\)vuông tại A

Xét \(\Delta ABE\)nội tiếp đường tròn (O) có đường kính AB \(\Rightarrow\Delta ABE\)vuông tại E \(\Rightarrow AE\perp BC\)tại E \(\Rightarrow\)AE là đường cao của \(\Delta ABC\)

Xét \(\Delta ABC\)vuông tại A có đường cao AE \(\Rightarrow CA^2=CE.CB\left(htl\right)\)(đpcm)