Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
+ Với n = 1 :
Vậy (2) đúng với n = 1
+ Giả sử đẳng thức đúng với n = k, tức là: 
Cần chứng minh (2) đúng với n = k + 1, tức là: 
Thật vậy, ta có :
2n + 1 > 2n + 3 (2)
+ Với n = 2 thì (2) ⇔ 8 > 7 (luôn đúng).
+ Giả sử (2) đúng khi n = k ≥ 2, nghĩa là 2k+1 > 2k + 3.
Ta chứng minh đúng với n= k+ 1 tức là chứng minh: 2k+2 > 2(k+ 1)+ 3
Thật vậy, ta có:
2k + 2 = 2.2k + 1
> 2.(2k + 3) = 4k + 6 = 2k + 2 + 2k + 4.
> 2k + 2 + 3 = 2.(k + 1) + 3 ( Vì 2k + 4 >3 với mọi k ≥ 2)
⇒ (2) đúng với n = k + 1.
Vậy 2n + 1 > 2n + 3 với mọi n ≥ 2.
* Với n = 2 ta có 2 2 + 1 > 2.2 + 3 ⇔ 8 > 7 (đúng).
Vậy (*) đúng với n= 2 .
* Giả sử với n = k , k ≥ 2 thì (*) đúng, có nghĩa ta có: 2 k + 1 > 2 k + 3 (1).
* Ta phải chứng minh (*) đúng với n = k + 1, có nghĩa ta phải chứng minh:
2 k + 2 > 2 ( k + 1 ) + 3
Thật vậy, nhân hai vế của (1) với 2 ta được:
2.2 k + 1 > 2 2 k + 3 ⇔ 2 k + 2 > 4 k + 6 > 2 k + 5 .
( vì 4k + 6 > 4k + 5 > 2k + 5 )
Hay 2 k + 2 > 2 ( k + 1 ) + 3
Vậy (*) đúng với n = k + 1 .
Do đó theo nguyên lí quy nạp, (*) đúng với mọi số nguyên dương ≥ 2
Chứng minh: 3n > 3n + 1 (1)
+ Với n = 2 thì (1) ⇔ 9 > 7 (luôn đúng).
+ Giả sử (1) đúng với n = k ≥ 2, tức là 3k > 3k + 1.
Ta chứng minh đúng với n= k+1 tức là chứng minh: 3k+ 1 > 3(k+1) + 1
Thật vậy, ta có:
3k + 1 = 3.3k > 3.(3k + 1) (Vì 3k > 3k + 1 theo giả sử)
= 9k + 3
= 3k + 3 + 6k
= 3.(k + 1) + 6k
> 3(k + 1) + 1.( vì k ≥ 2 nên 6k ≥ 12> 1)
⇒ (1) đúng với n = k + 1.
Vậy 3n > 3n + 1 đúng với mọi n ≥ 2.
a) Dễ thấy bất đẳng thức đúng với n = 2
Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k ≥ 2, tức là
3k > 3k + 1
Nhân hai vế của (1) vơi 3, ta được:
3k + 1 > 9k + 3 <=> 3k + 1 > 3k + 4 + 6k -1.
Vì 6k - 1 > 0 nên
3k + 1 > 3k + 4 hay 3k + 1 > 3(k + 1) + 1.
tức là bất đẳng thức đúng với n = k + 1.
Vậy 3n > 3n + 1 với mọi số tự nhiên n ≥ 2.
b) Với n = 2 thì vế trái bằng 8, vế phải bằng 7. Vậy bất đẳng thức đúng với n = 2
Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k ≥ 2, tức là
2k + 1 > 2k + 3 (2)
Ta phải chứng minh nó cũng đúng với n= k + 1, nghĩa là phải chứng minh
2k + 2 > 2(k + 1) + 3 <=> 2k + 2 > 2k + 5
Nhân hai vế của bất đẳng thức (2) với 2, ta được:
2k + 2 > 4k + 6 <=> 2k + 2 > 2k +5 + 2k + 1.
Vì 2k + 1> 0 nên 2k + 2 > 2k + 5
Vậy 2n + 1 > 2n + 3 với mọi số tự nhiên n ≥ 2.
+ Với n = 1 :
⇒ (3) đúng với n = 1
+ Giả sử đẳng thức (3) đúng với n = k nghĩa là :
Cần chứng minh (3) đúng khi n = k + 1, tức là:
Thật vậy:
- Với \(n=4\Rightarrow3^3>4.6\) (đúng)
- Giả sử BĐT đã cho đúng với \(n=k\ge4\) hay \(3^{k-1}>k\left(k+2\right)\)
- Ta cần chứng minh nó cũng đúng với \(n=k+1\) hay: \(3^k>\left(k+1\right)\left(k+3\right)\)
Thật vậy, do \(k\ge4\Rightarrow k-3>0\), ta có:
\(3^k=3.3^{k-1}>3k\left(k+2\right)=3k^2+6k=\left(k^2+4k+3\right)+\left(2k^2+2k-3\right)\)
\(=\left(k+1\right)\left(k+3\right)+2k^2+k+\left(k-3\right)>\left(k+1\right)\left(k+3\right)\) (đpcm)
\(\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n=C_n^0+C_n^1.\dfrac{1}{n}+C_n^2.\dfrac{1}{n^2}+...+C_n^n.\dfrac{1}{n^n}\)
\(=1+1+C_n^2.\dfrac{1}{n^2}+C_n^3.\dfrac{1}{n^3}+...+C_n^n.\dfrac{1}{n^n}\)
\(=2+C_n^2.\dfrac{1}{n^2}+C_n^3.\dfrac{1}{n^3}+...+C_n^n.\dfrac{1}{n^n}>2\)
Mặt khác:
\(C_n^k.\dfrac{1}{n^k}=\dfrac{n!}{k!\left(n-k\right)!.n^k}=\dfrac{\left(n-k+1\right)\left(n-k+2\right)...n}{n^k}.\dfrac{1}{k!}< \dfrac{n.n...n}{n^k}.\dfrac{1}{k!}=\dfrac{n^k}{n^k}.\dfrac{1}{k!}=\dfrac{1}{k!}\)
\(< \dfrac{1}{k\left(k-1\right)}=\dfrac{1}{k-1}-\dfrac{1}{k}\)
Do đó:
\(C_n^2.\dfrac{1}{n^2}+C_n^3.\dfrac{1}{n^3}+...+C_n^n.\dfrac{1}{n^n}< \dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+...+\dfrac{1}{n-1}-\dfrac{1}{n}=1-\dfrac{1}{n}< 1\)
\(\Rightarrow2+C_n^2.\dfrac{1}{n^2}+C_n^3.\dfrac{1}{n^3}+...+C_n^n.\dfrac{1}{n^n}< 2+1=3\) (đpcm)
