K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
DT
1
TN
11 tháng 5 2018
Từ \(a+b=4ab\Leftrightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=4\)
\(\left(\frac{1}{a};\frac{1}{b}\right)\rightarrow\left(x;y\right)\)\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x+y=4\\\frac{x^2}{4y+x^2y}+\frac{y^2}{4x+xy^2}\ge\frac{1}{2}\end{cases}}\)
C-S: \(VT\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{4\left(x+y\right)+xy\left(x+y\right)}\)\(\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{4\left(x+y\right)+\left(x+y\right)\cdot\frac{\left(x+y\right)^2}{4}}=\frac{1}{2}\)
TX
2
VA
0
7 tháng 8 2021
Ta có \(-\dfrac{4ab^2}{4b^2+1}\ge-\dfrac{4ab^2}{2\sqrt{4b^2}}=\dfrac{4ab^2}{4b}=ab\)
\(-\dfrac{4a^2b}{4a^2+1}\ge-\dfrac{4a^2b}{2\sqrt{4a^2}}=\dfrac{4a^2b}{4a}=ab\)
Mà \(\dfrac{a}{4b^2+1}+\dfrac{b}{4a^2+1}=\dfrac{a\left(4b^2+1\right)}{4b^2+1}-\dfrac{4ab^2}{4b^2+1}+\dfrac{b\left(4a^2+1\right)}{4a^2+1}-\dfrac{4ab^2}{4a^2+1}\ge a-ab+b-ab=4ab-2ab=2ab\)
Mà \(a+b=4ab\Rightarrow\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=4\ge\dfrac{2}{2\sqrt{ab}}\Rightarrow4\sqrt{ab}\ge2\Rightarrow ab\ge\dfrac{1}{4}\)
\(\Rightarrow2ab\ge\dfrac{1}{2}\Rightarrow\dfrac{a}{4b^2+1}+\dfrac{b}{4a^2+1}\ge\dfrac{1}{2}\)
Dấu "=" \(\Leftrightarrow a=b=\dfrac{1}{2}\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
7 tháng 8 2021
Lời giải:
ĐK $\Rightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}=4$
Đặt $\frac{1}{x}=a; \frac{1}{y}=b$ thì bài toán trở thành:
Cho $a,b>0$ thỏa mãn $a+b=4$. CMR:
$P=\frac{x^2}{y(x^2+4)}+\frac{y^2}{x(y^2+4)}\geq \frac{1}{2}$
-----------------------
Áp dụng BĐT AM-GM:
$\frac{x^2}{y(x^2+4)}+\frac{y(x^2+4)}{64}\geq \frac{x}{4}$
$\frac{y^2}{x(y^2+4)}+\frac{x(y^2+4)}{64}\geq \frac{y}{4}$
Cộng theo vế và rút gọn:
$P\geq \frac{3(x+y)-xy}{16}=\frac{12-xy}{16}$
Mà $xy\leq \frac{(x+y)^2}{4}=4$
$\Rightarrow P\geq \frac{12-4}{16}=\frac{1}{2}$
Ta có đpcm.
NN
29 tháng 5 2017
Giải: Ta có:
\(\frac{1}{4}\left(a+b\right)=a^2+b^2-ab\ge\left(a+b\right)^2-3\frac{\left(a+b\right)^2}{4}=\frac{\left(a+b\right)^2}{4}\)
\(\Rightarrow0\le a+b\le1\)
Mặt khác: \(A\le20\left(a+b\right)\left(a^2+b^2-ab\right)-6\frac{\left(a+b\right)^2}{2}+2013\)
\(\Rightarrow A\le20\left(a+b\right)\frac{a+b}{4}-3\left(a+b\right)^2+2013=2\left(a+b\right)^2+2013\le2015\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{2}\)
Vậy \(A_{max}=2015\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{2}\)
VT
28 tháng 5 2017
Từ biểu thức A ta suy ra để A max thì a, b không âm.
Từ Giả thiết ta suy ra a + b = 4(a2 - ab + b2) hay (a + b)2 = 4(a3 + b3). Thế vào A ta được:
A = 5(a + b)2 - 6(a2 + b2) + 2013 = -(a2 + b2) + 10ab + 2013 = -(a - b)2 + 8ab + 2013.
Từ GT ta cũng suy ra a + b \(\ge\)4ab nên A \(\le\)-(a - b)2 + 2(a + b) + 2013 \(\le\) 2013.
dấu "=" xảy ra khi a = b = 0. Vậy Max A = 2013 khi a = b = 0.
NT
27 tháng 3 2016
Ta có 1/4(a+b)=a^2+b^2-ab>=(a+b)^2-3((a+b)^2/4)=(a+b)^2/4
=>0=<a+b=<1
Mặt khác A=<20(a+b)(a^2+b^2-ab)-6((a+b)^2/2)+2013
=>A=<20(a+b)((a+b)/4)-3(a+b)^2+2013=2(a+b)^2+2013=<2015
=>Amin=2015 khi a=b=1/2
3 tháng 2 2021
Ta có: \(\frac{a}{1+4b^2}=\frac{a\left(1+4b^2\right)-4ab^2}{1+4b^2}=a-\frac{4ab^2}{1+4b^2}\ge a-\frac{4ab^2}{2\sqrt{4b^2.1}}=a-\frac{2ab^2}{2b}=a-ab\)(bđt cosi)
CMTT: \(\frac{b}{1+4a^2}\ge b-ab\)
=> P \(\ge a+b-2ab=4ab-2ab=2ab\)
Mặt khác ta có: \(a+b\ge2\sqrt{ab}\)(cosi)
=> \(4ab\ge2\sqrt{ab}\) <=> \(2ab\ge\sqrt{ab}\)<=> \(4a^2b^2-ab\ge0\) <=> \(ab\left(4ab-1\right)\ge0\)
<=> \(\orbr{\begin{cases}ab\le0\left(loại\right)\\ab\ge\frac{1}{4}\end{cases}}\)(vì a,b là số thực dương)
=> P \(\ge2\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{2}\)
Dấu "=" xảy ra <=> a = b = 1/2
Vậy MinP = 1/2 <=> a = b= 1/2
KN
3 tháng 2 2021
Ta có: \(a+b=4ab\le\left(a+b\right)^2\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left[\left(a+b\right)-1\right]\ge0\)
Mà \(a+b>0\Rightarrow a+b\ge1\)
Áp dụng BĐT Cô-si, ta có: \(P=\frac{a}{1+4b^2}+\frac{b}{1+4a^2}=\left(a-\frac{4ab^2}{1+4b^2}\right)+\left(b-\frac{4a^2b}{1+4a^2}\right)\)\(\ge\left(a-\frac{4ab^2}{4b}\right)+\left(b-\frac{4a^2b}{4a}\right)=\left(a+b\right)-2ab=\left(a+b\right)-\frac{a+b}{2}=\frac{a+b}{2}\ge\frac{1}{2}\)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = 1/2
17 tháng 2 2019
\(\dfrac{a}{4b^2+1}+\dfrac{b}{4a^2+1}=\dfrac{a\left(4b^2+1\right)}{4b^2+1}-\dfrac{4ab^2}{4b^2+1}+\dfrac{b\left(4a^2+1\right)}{4a^2+1}-\dfrac{4a^2b}{4b^2+1}\)
\(\ge a-\dfrac{4ab^2}{4b}+b-\dfrac{4a^2b}{4a}\) (bđt Cô-si)
=a-ab+b-ab=a+b-2ab=4ab-2ab=2ab
Lại có a+b=4ab \(\Rightarrow\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=4\ge\dfrac{2}{2\sqrt{ab}}\Rightarrow4\sqrt{ab}\ge2\Rightarrow ab\ge\dfrac{1}{4}\)
\(\Rightarrow2ab\ge\dfrac{1}{2}\Rightarrow\dfrac{a}{4b^2+1}+\dfrac{b}{4a^2+1}\ge\dfrac{1}{2}\)
Dấu ''='' xảy ra khi \(a=b=\dfrac{1}{2}\)
17 tháng 2 2019
\(\dfrac{a}{4b^2+1}+\dfrac{b}{4a^2+1}\ge\dfrac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow a-\dfrac{a}{4b^2+1}+b-\dfrac{b}{4a^2+1}\le a+b-\dfrac{1}{2}\)
\(\Rightarrow\dfrac{4ab^2}{4b^2+1}+\dfrac{4ba^2}{4a^2+1}\le4ab-\dfrac{1}{2}\)
\(\sum\dfrac{4ab^2}{4b^2+1}\le^{CS}2ab\)
\(\Rightarrow CM:2ab\le4ab-\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow ab\ge\dfrac{1}{4}\)
Từ GT \(\Rightarrow4ab=a+b\ge2\sqrt{ab}\Leftrightarrow ab\ge\dfrac{1}{4}\)
\(\Rightarrow dpcm\)
Ta có:
\(4a^2+4ab+4b^2+3=\left(2a+b\right)^2+3b^2+3>0;\forall a,b\)
Do đó:
\(\left(a-b\right)\left(4a^2+4ab+4b^2+3\right)=0\)
<=> \(a=b\)
Bạn nên kiểm tra lại đề. Bài trên không phải là phương trình đâu bạn nhé!
Đáp án: a=b
Giải
Ta có :
4a2+4ab+4b2+3=4a2+4ab+b2+3b2+3=(2a+b2)+3b2+3>3,∀a,b
→(a−b)(4a2+4ab+4b2+3)=0
↔a−b=0
↔a=b