Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Từ \(x^3+y^3+z^3=-3\)
\(\Leftrightarrow2x^3+2y^3+2z^3=-6\)
\(\Leftrightarrow2x^3+2y^3+2z^3=-3\left(x^2y+y^2z+z^2x\right)-3\left(xy^2+yz^2+zx^2\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(x^3+3x^2y+3xy^2+y^3\right)+\left(y^3+3y^2z+3yz^2+z^3\right)+\left(z^3+3z^2x+3zx^2+x^3\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^3+\left(y+z\right)^3+\left(z+x\right)^3=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x+y+y+z+z+x=0\\x+y=y+z=z+x\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x+y+z=0\\x=y=z\end{matrix}\right.\)
Xét TH \(x=y=z\), thay vào pt thứ 3 của hệ, ta có \(3x^3=-3\Leftrightarrow x=-1\) \(\Rightarrow\left(x;y;z\right)=\left(-1;-1;-1\right)\). Thử lại vào 2 pt đầu, ta thấy rõ ràng không thỏa mãn.
Xét TH \(x+y+z=0\), ta sẽ có \(x^3+y^3+z^3=3xyz\) \(\Rightarrow xyz=-1\)
Thay vào pt đầu tiên của hệ, thu được \(x^2y+y^2z+z^2x=-xyz\) \(\Leftrightarrow x^2y+y^2z+z^2x+xyz=0\). Tương tự, ta có \(xy^2+yz^2+zx^2+xyz=0\). Cộng theo vế 2 pt này, ta được \(\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)=0\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x+y=0\\y+z=0\\z+x=0\end{matrix}\right.\). Ta xét TH \(x+y=0\). Do \(x+y+z=0\) nên \(z=0\) và \(x=-y\), không thỏa mãn pt thứ 3. Tương tự với 2 trường hợp còn lại.
Vậy hpt đã cho vô nghiệm.
\(\left\{{}\begin{matrix}3x^2+xz-yz+y^2=2\left(1\right)\\y^2+xy-yz+z^2=0\left(2\right)\\x^2-xy-xz-z^2=2\left(3\right)\end{matrix}\right.\)
Lấy (2) cộng (3) ta được
\(x^2+y^2-yz-zx=2\) (4)
Lấy (1) - (4) ta được
\(2x\left(x+z\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=-z\end{matrix}\right.\)
Xét 2 TH rồi thay vào tìm được y và z
1. \(\left\{{}\begin{matrix}6xy=5\left(x+y\right)\\3yz=2\left(y+z\right)\\7zx=10\left(z+x\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x+y}{xy}=\dfrac{6}{5}\\\dfrac{y+z}{yz}=\dfrac{3}{2}\\\dfrac{z+x}{zx}=\dfrac{7}{10}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{6}{5}\\\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=\dfrac{3}{2}\\\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{x}=\dfrac{7}{10}\end{matrix}\right.\)
Đến đây thì dễ rồi nhé
ĐKXĐ: \(x,y,z\ge0\)
Từ pt đầu tiên, áp dụng BĐT Cauchy: \(1+y\ge2\sqrt{y}\) \(\Rightarrow\sqrt{x}\left(1+y\right)\ge2\sqrt{xy}\)
\(\Rightarrow2y\ge2\sqrt{xy}\Rightarrow\sqrt{y}\ge\sqrt{x}\Rightarrow y\ge x\)
Tương tự ta có \(2z=\sqrt{y}\left(1+z\right)\ge2\sqrt{yz}\Rightarrow z\ge y\)
\(2x=\sqrt{z}\left(1+x\right)\ge2\sqrt{xz}\Rightarrow x\ge z\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y\ge x\\z\ge y\\x\ge z\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x=y=z\)
Thay vào pt đầu ta được:
\(\sqrt{x}\left(1+x\right)=2x\Leftrightarrow2x-\sqrt{x}\left(1+x\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x}\left(2\sqrt{x}-1-x\right)=0\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\sqrt{x}=0\\-x+2\sqrt{x}-1=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\sqrt{x}=0\\-\left(\sqrt{x}-1\right)^2=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=y=z=0\\x=y=z=1\end{matrix}\right.\)
Vậy hệ có 2 bộ nghiệm:
\(\left(x,y,z\right)=\left(0,0,0\right);\left(1,1,1\right)\)
Do \(2x^2=y\left(x^2+1\right)\Rightarrow y\ge0\), tương tự ta có \(x;y;z\ge0\)
- Nhận thấy \(x=y=z=0\) là 1 nghiệm
- Nếu \(x;y;z>0\)
\(y\left(x^2+1\right)\ge y.2x=2xy\Rightarrow2x^2\ge2xy\Rightarrow x\ge y\)
Tương tự ta có \(y\ge z;z\ge x\Rightarrow x=y=z\)
Thay vào pt đầu ta có
\(2x^2=x\left(x^2+1\right)\Leftrightarrow x\left(x^2-2x+1\right)=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=y=z=0\\x=y=z=1\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x^2-2x+2y^2-y-1=0\\2y^2+2x+y+1-6xy=0\end{matrix}\right.\)
Cộng vế với vế:
\(2x^2+4y^2-6xy=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x-2y\right)=0\)
Thế vào 1 trong 2 pt ban đầu
b) Lấy pt đầu trừ pt dưới thu được:
\(x^3-y^3+2\left(x-y\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2+2\right)=0\)
Do \(x^2+xy+y^2=\left(x+\frac{y}{2}\right)^2+\frac{3y^2}{4}+2>0\)
Do đó x = y. Thay vào pt đầu thu được:
\(x^3-2x-1=0\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(x^2-x-1\right)=0\)
c) Lấy pt trên trừ pt dưới:
\(2\left(x^2-y^2\right)-3\left(x-y\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(2x+2y-3\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=y\\2x+2y-3=0\end{matrix}\right.\)
Auto làm nốt:D
P/s: Is that true?
