Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
1/Lấy logarit cơ số tự nhiên 2 vế:
\(ln\left(4^{3^x}\right)< ln\left(3^{4^x}\right)\Leftrightarrow3^x.ln4< 4^x.ln3\Leftrightarrow\left(\dfrac{3}{4}\right)^x< \dfrac{ln3}{ln4}=log_43\)
\(\Rightarrow x>log_{\dfrac{3}{4}}\left(log_43\right)\)
2/ Đề là thế này hả bạn? Đột nhiên con \(x^3\) chui vào trong ngoặc đứng 1 mình làm ko hiểu gì hết \(\sqrt{log_x\left(x^3+1\right).log_{x+1}\left(x+2\right)}\)
Đầu tiên là điều kiện để logarit xác định: \(x>0\)
Ta tìm điều kiện để căn thức xác định: \(log_x\left(x^3+1\right).log_{x+1}\left(x+2\right)\ge0\)
Do \(x>0\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+1>1\\x+2>2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow log_{x+1}\left(x+2\right)>0\)
\(\Rightarrow log_x\left(x^3+1\right)\ge0\Rightarrow\dfrac{ln\left(x^3+1\right)}{lnx}\ge0\)
Lại có \(x>0\Rightarrow x^3+1>1\Rightarrow ln\left(x^3+1\right)>0\)
\(\Rightarrow lnx>0\Rightarrow x>1\)
Vậy TXĐ của pt là \(x>1\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
a. Vì \(0< 0,1< 1\) nên bất phương trình đã cho
\(\Leftrightarrow0< x^2+x-2< x+3\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2+x-2>0\\x^2-5< 0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}x< -2\\x>1\end{matrix}\right.\\-\sqrt{5}< x< \sqrt{5}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-\sqrt{5}< x< -2\\1< x< \sqrt{5}\end{matrix}\right.\)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(S=\left\{-\sqrt{5};-2\right\}\) và \(\left\{1;\sqrt{5}\right\}\)
b. Điều kiện \(\left\{{}\begin{matrix}2-x>0\\x^2-6x+5>0\end{matrix}\right.\)
Ta có:
\(log_{\dfrac{1}{3}}\left(x^2-6x+5\right)+2log^3\left(2-x\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow log_{\dfrac{1}{3}}\left(x^2-6x+5\right)\ge log_{\dfrac{1}{3}}\left(2-x\right)^2\)
\(\Leftrightarrow x^2-6x+5\le\left(2-x\right)^2\)
\(\Leftrightarrow2x-1\ge0\)
Bất phương trình tương đương với:
\(\left\{{}\begin{matrix}x^2-6x+5>0\\2-x>0\\2x-1\ge0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}x< 1\\x>5\end{matrix}\right.\\x< 2\\x\ge\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}\le x< 1\)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: \(\left(\dfrac{1}{2};1\right)\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
1: \(2^x=64\)
=>\(x=log_264=6\)
2: \(2^x\cdot3^x\cdot5^x=7\)
=>\(\left(2\cdot3\cdot5\right)^x=7\)
=>\(30^x=7\)
=>\(x=log_{30}7\)
3: \(4^x+2\cdot2^x-3=0\)
=>\(\left(2^x\right)^2+2\cdot2^x-3=0\)
=>\(\left(2^x\right)^2+3\cdot2^x-2^x-3=0\)
=>\(\left(2^x+3\right)\left(2^x-1\right)=0\)
=>\(2^x-1=0\)
=>\(2^x=1\)
=>x=0
4: \(9^x-4\cdot3^x+3=0\)
=>\(\left(3^x\right)^2-4\cdot3^x+3=0\)
Đặt \(a=3^x\left(a>0\right)\)
Phương trình sẽ trở thành:
\(a^2-4a+3=0\)
=>(a-1)(a-3)=0
=>\(\left[{}\begin{matrix}a-1=0\\a-3=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=1\left(nhận\right)\\a=3\left(nhận\right)\end{matrix}\right.\)
=>\(\left[{}\begin{matrix}3^x=1\\3^x=3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=0\end{matrix}\right.\)
5: \(3^{2\left(x+1\right)}+3^{x+1}=6\)
=>\(\left[3^{x+1}\right]^2+3^{x+1}-6=0\)
=>\(\left(3^{x+1}\right)^2+3\cdot3^{x+1}-2\cdot3^{x+1}-6=0\)
=>\(3^{x+1}\left(3^{x+1}+3\right)-2\left(3^{x+1}+3\right)=0\)
=>\(\left(3^{x+1}+3\right)\left(3^{x+1}-2\right)=0\)
=>\(3^{x+1}-2=0\)
=>\(3^{x+1}=2\)
=>\(x+1=log_32\)
=>\(x=-1+log_32\)
6: \(\left(2-\sqrt{3}\right)^x+\left(2+\sqrt{3}\right)^x=2\)
=>\(\left(\dfrac{1}{2+\sqrt{3}}\right)^x+\left(2+\sqrt{3}\right)^x=2\)
=>\(\dfrac{1}{\left(2+\sqrt{3}\right)^x}+\left(2+\sqrt{3}\right)^x=2\)
Đặt \(b=\left(2+\sqrt{3}\right)^x\left(b>0\right)\)
Phương trình sẽ trở thành:
\(\dfrac{1}{b}+b=2\)
=>\(b^2+1=2b\)
=>\(b^2-2b+1=0\)
=>(b-1)2=0
=>b-1=0
=>b=1
=>\(\left(2+\sqrt{3}\right)^x=1\)
=>x=0
7: ĐKXĐ: \(x^2+3x>0\)
=>x(x+3)>0
=>\(\left[{}\begin{matrix}x>0\\x< -3\end{matrix}\right.\)
\(log_4\left(x^2+3x\right)=1\)
=>\(x^2+3x=4^1=4\)
=>\(x^2+3x-4=0\)
=>(x+4)(x-1)=0
=>\(\left[{}\begin{matrix}x+4=0\\x-1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\left(nhận\right)\\x=-4\left(nhận\right)\end{matrix}\right.\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Điều kiện x>1
Từ (1) ta có \(\log_{\sqrt{3}}\frac{x+1}{x-1}>\log_34\) \(\Leftrightarrow\frac{x+1}{x-1}>2\) \(\Leftrightarrow\) 1<x<3
Đặt \(t=\log_2\left(x^2-2x+5\right)\)
Tìm điều kiện của t :
- Xét hàm số \(f\left(x\right)=\log_2\left(x^2-2x+5\right)\) với mọi x thuộc (1;3)
- Đạo hàm : \(f\left(x\right)=\frac{2x-2}{\ln2\left(x^2-2x+5\right)}>\) mọi \(x\in\left(1,3\right)\)
Hàm số đồng biến nên ta có \(f\left(1\right)\) <\(f\left(x\right)\) <\(f\left(3\right)\) \(\Leftrightarrow\)2<2<3
- Ta có \(x^2-2x+5=2'\)
\(\Leftrightarrow\) \(\left(x-1\right)^2=2'-4\)
Suy ra ứng với mõi giá trị \(t\in\left(2,3\right)\) ta luôn có 1 giá trị \(x\in\left(1,3\right)\)
Lúc đó (2) suy ra : \(t-\frac{m}{t}=5\Leftrightarrow t^2-5t=m\)
Xét hàm số : \(f\left(t\right)=t^2-5t\) với mọi \(t\in\left(2,3\right)\)
- Đạo hàm : \(f'\left(t\right)=2t-5=0\Leftrightarrow t=\frac{5}{2}\)
- Bảng biến thiên :
x | 2 \(\frac{5}{2}\) 3 |
y' | + 0 - |
y | -6 -6 -\(\frac{25}{4}\) |
Để hệ có 2 cặp nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow-6>-m>-\frac{25}{4}\)\(\Leftrightarrow\)\(\frac{25}{4}\) <m<6
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
d) Điều kiện x>0. Áp dụng công thức đổi cơ số, ta có :
\(\log_2x+\log_3x+\log_4x=\log_{20}x\)
\(\Leftrightarrow\log_2x+\frac{\log_2x}{\log_23}+\frac{\log_2x}{\log_24}=\frac{\log_2x}{\log_220}\)
\(\Leftrightarrow\log_2x\left(1+\frac{1}{\log_23}+\frac{1}{2}+\frac{1}{\log_220}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\log_2x\left(\frac{3}{2}+\log_22-\log_{20}2\right)=0\)
Ta có \(\frac{3}{2}+\log_22-\log_{20}2>\frac{3}{2}+0-1>0\)
Do đó, từ phương trình trên, ta phải có \(\log_2x=0\) hay \(x=2^0=1\)
Vậy nghiệm duy nhất của phương trình là \(x=1\)
c) Điều kiện x>0, đưa về cùng cơ số 5, ta có :
\(\log_5x^3+3\log_{25}x+\log_{\sqrt{25}}\sqrt{x^3}=\frac{11}{2}\)
\(\Leftrightarrow3\log_5x+3\log_{5^2}x+\log_{5^{\frac{3}{2}}}x^{\frac{3}{2}}=\frac{11}{2}\)
\(\Leftrightarrow3\log_5x+3\frac{1}{2}\log_5x+\frac{3}{2}.\frac{2}{3}\log_5x=\frac{11}{2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{11}{2}\log_5x=\frac{11}{2}\)
\(\Leftrightarrow\log_5x=1\)
\(\Leftrightarrow x=5^1=5\) thỏa mãn
Vậy phương trình chỉ có 1 nghiệ duy nhất \(x=5\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(\log_{\frac{1}{2}}\left(4^x+4\right)\ge\log_{\frac{1}{2}}\left(2^{x+1}-3\right)-\log_22^x\)
\(\Leftrightarrow\log_{\frac{1}{2}}\left(4^x+4\right)\ge\log_{\frac{1}{2}}\left(2^{x+1}-3\right)+\log_{\frac{1}{2}}2^x\)
\(\Leftrightarrow\log_{\frac{1}{2}}\left(4^x+4\right)\ge\log_{\frac{1}{2}}\left(2^{2x+1}-3^x\right)\)
\(\Leftrightarrow4^x+4\le2^{2x+1}-3.2^x\)
\(\Leftrightarrow4^x-3.2^x-4\ge0\)
\(\Leftrightarrow\begin{cases}2^x\le-1\left(L\right)\\2^x\ge4\end{cases}\)\(\Leftrightarrow x\ge2\)
Vậy bất phương trình có tập nghiệm \(S=\left(2;+\infty\right)\)