Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a/ \(C=\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\)
b/ Ta có:
\(\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)-2xyz\)
\(=\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)-3xyz\)
Vì \(x+y+z⋮6\)
Nên trong 3 số x, y, z có ít nhất 1 số chẵn
\(\Rightarrow3xyz⋮6\)
\(\Rightarrow\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)-3xyz⋮6\)
do x+y+z=1 nên 1/x+1/y+1/z sẽ bằng \(\frac{x+y+z}{x}+\frac{x+y+z}{y}+\frac{x+y+z}{z}=1+\frac{y}{x}+\frac{z}{x}+\frac{x}{y}+1+\frac{z}{y}+\frac{x}{z}+\frac{y}{z}+1\)
\(=3+\frac{y}{x}+\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{y}+\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\)
Ta có
\(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}\ge2\)
\(\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\ge2\)
\(\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\ge2\)
Cộng vế theo vế của 3 bất đẳng thức trên ta được
\(\frac{y}{x}+\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{y}+\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\ge6\)
Cộng 3 vào 2 vế bất đẳng thức
\(\Rightarrow3+\frac{y}{x}+\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{y}+\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\ge9\)
Mà \(3+\frac{y}{x}+\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{y}+\frac{x}{z}+\frac{z}{x}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge9\)
Xong !!!!
T I C K nha cảm ơn nhìu
CHÚC BẠN HỌC TỐT
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có ngay :
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{x+y+z}=\frac{9}{x+y+z}=9\left(đpcm\right)\)
Dấu "=" xảy ra <=> x=y=z=1/3
(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2
=>x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+xz)=x^2+y^2+z^2
=>2(xy+yz+xz)=0
=>xy+yz+xz=0
1/x+1/y+1/z
=(xz+yz+xy)/xyz
=0/xyz=0
Với x ; y > 0 , cần c/m : \(x^3+y^3\ge xy\left(x+y\right)\)
Ta có : \(x^3+y^3-xy\left(x+y\right)=\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2-xy\right)=\left(x+y\right)\left(x-y\right)^2\ge0\)
( điều này luôn đúng với mọi x ; y > 0 )
=> BĐT được c/m
Áp dụng vào bài toán , ta có :
\(\frac{1}{x^3+y^3+xyz}+\frac{1}{y^3+z^3+xyz}+\frac{1}{x^3+z^3+xyz}\le\frac{1}{xy\left(x+y\right)+xyz}+\frac{1}{yz\left(y+z\right)+xyz}+\frac{1}{xz\left(x+z\right)+xyz}=\frac{1}{xy\left(x+y+z\right)}+\frac{1}{yz\left(x+y+z\right)}+\frac{1}{xz\left(x+y+z\right)}=\frac{x+y+z}{xyz\left(x+y+z\right)}=\frac{1}{xyz}\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z;x,y,z>0\)
Với x2+y2+z2=1 ta có:
x+y+z=1=> (x+y+z)2=1
=> x2+y2+z2+2.(xy+yz+zx)=1
=> 1+2.(xy+yz+zx)=1
=> 2.(xy+yz+zx)=0 => xy+yz+zx=0
Ta luôn có nếu a+b+c=0 thì a3+b3+c3=3abc.
Áp dụng vào bài toán ta có xy+yz+zx=0 => (xy)3+(yz)3+(zx)3=3.(xyz)2
Với xyz=1 và (xy)3+(yz)3+(zx)3=3.(xyz)2 ta có\(\frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}+\frac{1}{z^3}=\frac{\left(yz\right)^3+\left(xz\right)^3+\left(xy\right)^3}{\left(xyz\right)^3}=\frac{3.\left(xyz\right)^2}{xyz}=\frac{3}{xyz}=3\)
=> đpcm
đặt M là n^3 -9n^2+2n.
TH1 : n có dạng 2k => M chia hết cho 2 (bạn tự cm)
TH2 ; n có dạng 2k+1 => M = (2k+1)^3-9(2k+1)^2+2n
=8k^3+6k+12k^2+1-9(4k^2+4k+1)+2n = ... => M chia hết cho 2 với mọi n (1)
Xét n có dạng 3k => M chia hết cho 3
Xét n có dạng 3k+1 => n^3+2n=(3k+1)^3+2(3k+1)=27k^3+9k+27k^2+6k+3 chia hết cho 3 mà 9n^2 cũng chia hết cho 3 => M chia hết cho 3
Tương tự bạn xét n =3k+2....
=> M chia hết cho 3 vs mọi n (2)
Từ (1) và (2) => M chia hết cho 6
chết lộn
làm lại này
\(a^3+5a\Rightarrow1.a^3+5a\)
=> \(a^2\left(a5+1\right)\Rightarrow a^2\left(a6\right)\Rightarrow a^2\left(a6\right)⋮6\)
Câu kia, sai nhé
Chỉ khi x + y + z = 0 mới như vậy.
Cụ thể :
Ta có :
\(x^3+y^3+z^3-3xyz\)
\(=\left(x+y\right)^3+z^3-3xy^2-3x^2y-3xyz\)
\(=\left(x+y+z\right)\left[\left(x+y\right)^2+z^2-\left(x+y\right)z\right]-3xy\left(x+y+z\right)\)
\(=\left(x+y+z\right)\left[x^2+y^2+2xy+z^2-xz-yz-3xy\right]\)
\(=0\) là BS xyz