ZC
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
LH
0
NM
0
CG
0
16 tháng 9 2016
\(A=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{1990^2}\)
\(A< \frac{1}{2^2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{1989.1990}\)
\(A< \frac{1}{4}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{1989}-\frac{1}{1990}\)
\(A< \frac{1}{4}+\frac{1}{2}-\frac{1}{1990}< \frac{1}{4}+\frac{1}{2}\)
\(A< \frac{1}{4}+\frac{2}{4}=\frac{3}{4}\left(đpcm\right)\)
NM
1
CC
6 tháng 3 2020
\(A=\frac{1}{2}+\frac{2}{2^2}+\frac{3}{2^3}+........+\frac{100}{2^{100}}\)
\(\Rightarrow2A=1+\frac{2}{2}+\frac{3}{2^2}+..........+\frac{100}{2^{99}}\)
\(\Rightarrow2A-A=A=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+......+\frac{1}{2^{99}}+\frac{100}{2^{100}}\)
\(\Rightarrow2A=2+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+......+\frac{1}{2^{98}}+\frac{100}{2^{99}}\)
\(\Rightarrow2A-A=A=2-\frac{100}{2^{99}}< 2\)
Vậy \(A< 2\)
Tổng trên có số số hạng là: \(\left(n-2\right):1+1=n-1\) số hạng
Suy ra \(A=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{n}\)
\(=\frac{\left(\frac{1}{n}+\frac{1}{2}\right)\left(n-1\right)}{2}=\frac{\frac{1}{n}\left(n-1\right)+\frac{1}{2}\left(n-1\right)}{2}\)
\(=\frac{1-\frac{1}{n}+\frac{n}{2}-\frac{1}{2}}{2}=\frac{\frac{1}{2}-\left(\frac{1}{n}-\frac{n}{2}\right)}{2}\)
\(=\frac{\left(\frac{1}{2}\right)}{2}-\frac{\left(\frac{2}{2n}\right)}{2}+\frac{\left(\frac{n^2}{2n}\right)}{2}=\frac{1}{4}-\frac{1}{2n}+\frac{n}{4}\)
Suy ra \(n\ne0\).Ta có: \(S=\frac{1}{4}-\frac{1}{2n}+\frac{n}{4}=\frac{1+n}{4}-\frac{1}{2n}\)
\(=\frac{2n^2+2n+4}{8n}=\frac{2\left(n+\frac{1}{2}\right)^2}{8n}+\frac{\left(\frac{7}{2}\right)}{8n}\)
\(=\frac{2\left(n+\frac{1}{2}\right)^2}{8n}+\frac{7}{16n}\)
Đến đây bí =)Alibaba!