![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Đặt \(a=x,b=\frac{1}{x}\) thì ta có ab = 1
\(a-b=x-\frac{1}{x}=\frac{x^2-1}{x}=\frac{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}{x}\). Vì \(x>1\) nên ta có \(a-b>0\)
\(3\left(a^2-b^2\right)< 2\left(a^3-b^3\right)\)
\(\Leftrightarrow3\left(a-b\right)\left(a+b\right)< 2\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2+ab+b^2\right)>\frac{3}{2}\left(a+b\right)\) (chia cả hai vế cho \(a-b>0\))
\(\Leftrightarrow\left(a^2-\frac{3}{2}a+\frac{9}{16}\right)+\left(b^2-\frac{3}{2}b+\frac{9}{16}\right)+\frac{7}{8}>0\)(vì ab = 1)
\(\Leftrightarrow\left(a-\frac{3}{4}\right)^2+\left(b-\frac{3}{4}\right)^2+\frac{7}{8}>0\) (luôn đúng)
Vậy có đpcm.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
@AD dragon Boy
SGK chưa phải lúc nào cũng đúng
bằng chứng vẫn có phần đinh chính kèm theo
mà 100% bạn chưa đọc cái đinh chính đó
=> 100% câu trả lời của bạn có thể chưa đúng
@thien minh
hd
đặt hai căn là a, b
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
ez
\(3\left(x^2-\frac{1}{x^2}\right)< 2\left(x^3-\frac{1}{x^3}\right)\)
\(\Leftrightarrow3\left(x-\frac{1}{x}\right)\left(x+\frac{1}{x}\right)-2\left(x-\frac{1}{x}\right)\left(x^2+\frac{1}{x^2}+1\right)< 0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-\frac{1}{x}\right)\left[3\left(x+\frac{1}{x}\right)-2\left(x^2+\frac{1}{x^2}+1\right)\right]< 0\)
Do \(x>1\Leftrightarrow x^2>1\Leftrightarrow x^2-1>0\)
\(\Rightarrow x-\frac{1}{x}=\frac{x^2-1}{x}>0\forall x>1\)
\(pt\Leftrightarrow3\left(x+\frac{1}{x}\right)-2\left(x^2+\frac{1}{x^2}+1\right)< 0\)
\(\Leftrightarrow3\left(x+\frac{1}{x}\right)-2\left(x^2+2+\frac{1}{x^2}-1\right)< 0\)
\(\Leftrightarrow3\left(x+\frac{1}{x}\right)-2\left[\left(x+\frac{1}{x}\right)^2-1\right]< 0\)
\(\Leftrightarrow3\left(x+\frac{1}{x}\right)-2\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+2< 0\)
Đặt \(x+\frac{1}{x}=a\)( \(a>2\) )
\(pt\Leftrightarrow3a-2a^2+2< 0\)
\(\Leftrightarrow2a^2-3a-2>0\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^2-\frac{3}{2}a-1\right)>0\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^2-2\cdot a\cdot\frac{3}{4}+\frac{9}{16}-\frac{25}{16}\right)>0\)
\(\Leftrightarrow2\left[\left(a-\frac{3}{4}\right)^2-\frac{25}{16}\right]\)
\(\Leftrightarrow2\left(a-\frac{3}{4}\right)^2-\frac{25}{8}>0\)
\(\Leftrightarrow2\left(a-\frac{3}{4}\right)^2>\frac{25}{8}\)
Ta có \(a>2\Leftrightarrow2\left(a-\frac{3}{4}\right)^2>2\left(2-\frac{3}{4}\right)^2=\frac{25}{8}\)( luôn đúng )
Vậy ta có đpcm.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
1) ĐKXĐ: \(\left\{{}\begin{matrix}x^2+x+1\ge0\\x^2+1\ne0\end{matrix}\right.\)
Ta có:
+) \(x^2+x+1=\left(x^2+x+\dfrac{1}{4}\right)+\dfrac{3}{4}\)
\(=\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}\ge\dfrac{3}{4}>0\forall x\)
+) \(x^2+1\ge1>0\forall x\)
Vậy biểu thức luôn xác định với mọi x
2) ĐKXĐ: \(\left\{{}\begin{matrix}x^2-2x+3>0\\x^2-x+1\ge0\end{matrix}\right.\)
Ta có:
+) \(x^2-2x+3=\left(x^2-2x+1\right)+2\)
\(=\left(x-1\right)^2+2\ge2>0\forall x\)
+) \(x^2-x+1=\left(x^2-x+\dfrac{1}{4}\right)+\dfrac{3}{4}\)
\(=\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}\ge\dfrac{3}{4}>0\forall x\)
Vậy biểu thức luôn xác định với mọi x
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Bạn ơi hình như đề cho thừa thì phải
Vì nếu bạn thay x=2 thì f(x) ko cp
Sửa lại đề rùi nói cho mk , mk làm cho nha
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(\text{Δ}=\left[-2\left(a-1\right)\right]^2-4\cdot\left(a+1\right)\left(-a-3\right)\)
\(=4\left(a-1\right)^2+4\left(a+1\right)\left(a+3\right)\)
\(=4\left(a^2-2a+1\right)+4\left(a^2+4a+3\right)\)
\(=4a^2-8a+4+4a^2+16a+12\)
\(=8a^2+8a+16\)
\(=8\left(a^2+a+2\right)\)
\(=8\left(a^2+a+\dfrac{1}{4}+\dfrac{7}{4}\right)\)
\(=8\left[\left(a+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{7}{4}\right]>=8\cdot\dfrac{7}{4}>0\forall a\) khác -1
=>Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt khi \(a\ne-1\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{x}+\sqrt{xy}=\frac{x^3+y^3}{2xy}+\frac{x^3+y^3}{2xy}+\sqrt{xy}\geq 3\sqrt[3]{\frac{(x^3+y^3)^2}{4xy\sqrt{xy}}}\)
Bằng BĐT AM-GM, dễ thấy:
\(x^3+y^3\geq \frac{1}{2}(x+y)(x^2+y^2)\geq \sqrt{xy}(x^2+y^2)\)
\(\Rightarrow (x^3+y^3)^2\geq xy(x^2+y^2)^2=xy\sqrt{x^2+y^2}.\sqrt{(x^2+y^2)^3}\geq xy\sqrt{2xy}\sqrt{(x^2+y^2)^3}\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{x}+\sqrt{xy}\geq 3\sqrt[3]{\frac{\sqrt{2}(x^2+y^2)^{\frac{3}{2}}}{4}}=3\sqrt{\frac{x^2+y^2}{2}}\)
Ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi $x=y$
Căn bậc 2 của (x-1)^2 = x-1 hoặc 1-x
Trường hợp 1: x-1 >=0 => x>=1
Thì x-1+x =2x-1 >=1 (1)
Trường hợp 2 :1-x >=0 => x <=1
Thì 1-x +x = 1 (2)
(1) VÀ (2) => ĐPCM