Câu hỏi của Nguyễn Thiện Minh

Question

CMR: $a^4+b^4+c^4$ ≥ abc(a + b + c)

akai chuichi · Accepted Answer

áp dụng BĐT co si cho 4 số ta có

$a^4+a^4+b^4+c^4\ge4\sqrt[4]{a^4.a^4.b^4.c^4}=4a^2bc$

$b^4+b^4+a^4+c^4\ge4\sqrt[4]{a^4.b^4.b^4.c^4}=4ab^2c$

$c^4+c^4+b^4+a^4\ge4\sqrt[4]{a^4.b^4.c^4.c^4}=4abc^2$

Cộng vế với vế ta có

4a4+4b4+4c4 ≥ 4a2bc+4ab2c+4abc2

chia cả 2 vế cho 4 ta có

a4+b4+c4 ≥ a2bc+ab2c +abc2

⇔ a4+b4+c4 ≥ abc(a+b+c) (đpcm)Câu trả lời: áp dụng BĐT co si cho 4 số ta có

$a^4+a^4+b^4+c^4\ge4\sqrt[4]{a^4.a^4.b^4.c^4}=4a^2bc$

$b^4+b^4+a^4+c^4\ge4\sqrt[4]{a^4.b^4.b^4.c^4}=4ab^2c$

$c^4+c^4+b^4+a^4\ge4\sqrt[4]{a^4.b^4.c^4.c^4}=4abc^2$

Cộng vế với vế ta có

4a4+4b4+4c4 ≥ 4a2bc+4ab2c+4abc2

chia cả 2 vế cho 4 ta có

a4+b4+c4 ≥ a2bc+ab2c +abc2

⇔ a4+b4+c4 ≥ abc(a+b+c) (đpcm)

Nhã Doanh · Answer

Áp dụng bất đẳng thức ta có:

$a^2+b^2+c^2\ge ab+ac+bc$

$\Rightarrow a^4+b^4+c^4\ge a^2b^2+a^2b^2+b^2c^2$

mà: $a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2\ge ab^2c+a^2bc+abc^2=abc\left(a+b+c\right)$ $\Leftrightarrowđpcm$Câu trả lời: Áp dụng bất đẳng thức ta có:

$a^2+b^2+c^2\ge ab+ac+bc$

$\Rightarrow a^4+b^4+c^4\ge a^2b^2+a^2b^2+b^2c^2$

mà: $a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2\ge ab^2c+a^2bc+abc^2=abc\left(a+b+c\right)$ $\Leftrightarrowđpcm$