Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Vì n lẻ nên n=2k+1
\(n^4-10n^2+9\)
\(=\left(n^2-1\right)\left(n^2-9\right)\)
\(=\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n-3\right)\left(n+3\right)\)
\(=\left(2k+1-1\right)\left(2k+1+1\right)\left(2k+1-3\right)\left(2k+1+3\right)\)
\(=2k\cdot\left(2k+2\right)\cdot\left(2k-2\right)\cdot\left(2k+4\right)\)
\(=16k\left(k+1\right)\left(k-1\right)\left(k+2\right)\)
Vì k-1;k+1;k;k+2 là bốn số liên tiếp
nên \(\left(k-1\right)\cdot k\cdot\left(k+1\right)\cdot\left(k+2\right)⋮4!=24\)
\(\Leftrightarrow16k\left(k+1\right)\left(k-1\right)\left(k+2\right)⋮384\)
Lời giải:
Ta có:
\(A=n^4-4n^3-4n^2+16n=n^3(n-4)-4n(n-4)\)
\(=(n^3-4n)(n-4)=n(n^2-4)(n-4)=n(n-2)(n+2)(n-4)\)
Vì $n$ chẵn nên đặt $n=2k$ ($k\in\mathbb{N}, k>2$)
Khi đó:
\(A=2k(2k-2)(2k+2)(2k-4)=16(k-2)(k-1)k(k+1)(1)\)
Vì $k-2,k-1,k,k+1$ là 4 số tự nhiên liên tiếp nên trong đó chắc chắn tồn tại một số chia hết cho $4$ và một số chia $4$ dư $2$
\(\Rightarrow (k-2)(k-1)k(k+1)\vdots 8(2)\)
Mặt khác: $k-2, k-1, k$ là 3 số tự nhiên liên tiếp nên chắc chắn trong đó tồn tại một số chia hết cho $3$.
\(\Rightarrow (k-2)(k-1)k\vdots 3\Rightarrow (k-2)(k-1)k(k+1)\vdots 3(3)\)
Từ (2); (3) mà $(3,8)=1$ nên $(k-2)(k-1)k(k+1)\vdots 24$ $(4)$
Từ \((1);(4)\Rightarrow A=16(k-2)(k-1)k(k+1)\vdots (16.24)\)
Hay $A\vdots 384$ (đpcm)
Lời giải:
Ta có:
\(A=n^4-4n^3-4n^2+16n=n^3(n-4)-4n(n-4)\)
\(=(n^3-4n)(n-4)=n(n^2-4)(n-4)=n(n-2)(n+2)(n-4)\)
Vì $n$ chẵn nên đặt $n=2k$ ($k\in\mathbb{N}, k>2$)
Khi đó:
\(A=2k(2k-2)(2k+2)(2k-4)=16(k-2)(k-1)k(k+1)(1)\)
Vì $k-2,k-1,k,k+1$ là 4 số tự nhiên liên tiếp nên trong đó chắc chắn tồn tại một số chia hết cho $4$ và một số chia $4$ dư $2$
\(\Rightarrow (k-2)(k-1)k(k+1)\vdots 8(2)\)
Mặt khác: $k-2, k-1, k$ là 3 số tự nhiên liên tiếp nên chắc chắn trong đó tồn tại một số chia hết cho $3$.
\(\Rightarrow (k-2)(k-1)k\vdots 3\Rightarrow (k-2)(k-1)k(k+1)\vdots 3(3)\)
Từ (2); (3) mà $(3,8)=1$ nên $(k-2)(k-1)k(k+1)\vdots 24$ $(4)$
Từ \((1);(4)\Rightarrow A=16(k-2)(k-1)k(k+1)\vdots (16.24)\)
Hay $A\vdots 384$ (đpcm)
Ta có:\(n^5-n=n\left(n^4-1\right)=n\left(n^2-1\right)\left(n^2+1\right)\)
\(=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n^2-4+5\right)\)
\(=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n-2\right)\left(n+2\right)+5n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\)
Do 5n(n-1)(n+1) có dạng 5k. Do đó chia hết cho 5.
Lại có: n ; n-1 ; n+1 là 3 số tự nhiên liên tiếp nên tích chúng sẽ tồn tại thưa số chia hết cho 3, chia hết cho 2.
Do đó5n(n-1)(n+1) \(⋮30\)
Mặt khác: n(n-1)(n+1)(n-2(n+2) là tích 5 số tự nhiên liên tiêp, do đó tích của chúng có tồn tại 1 thừa số chi hết cho, 5, một thwuaf số chia hết cho 3, một thưa só chia hét cho 2.
Do đó n5-n chia hết cho 30
\(A=n^4-10n^2+9=n^4-n^2-9n^2+9=\left(n^2-1\right)\left(n^2-9\right)=\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n-3\right)\left(n+3\right)\)
Đặt n = 2k+1 Thay vào A có: \(2k\left(2k+2\right)\left(2k-2\right)\left(2k+4\right)=16k\left(k-1\right)\left(k+1\right)\left(k+2\right)\)
=> \(A⋮16\)
Lại có k;k-1;k=1;k=2 là 3 số nguyên liên tiếp do đó tích chung số chia hét cho 2,3,4(3 số nguyên tố cùng nhau). Nên A chia hết 24
=> A\(A⋮384\)
\(a,n^3+6n^2+8n\)
\(=n\left(n^2+6n+8\right)\)
\(=n\left(n^2+4n+2n+8\right)\)
\(=n\left[\left(n^2+4n\right)+\left(2n+8\right)\right]\)
\(=n\left[n\left(n+4\right)+2\left(n+4\right)\right]\)
\(=n\left(n+2\right)\left(n+4\right)\)
Vì n chẵn ,đây là tích của ba số chẵn liên tiếp => chia hết cho 48
b, tương tự a
a)Đặt \(A=n^3+6n^2+8n\)
\(A=n\left(n^2+6n+8\right)\)
\(A=n\left(n^2+2n+4n+8\right)\)
\(A=n\left[n\left(n+2\right)+4\left(n+2\right)\right]\)
\(A=n\left(n+2\right)\left(n+4\right)⋮\forall n\) chẵn
b)Đặt \(B=n^4-10n^2+9\)
\(B=n^4-n^2-9n^2+9\)
\(B=n^2\left(n^2-1\right)-9\left(n^2-1\right)\)
\(B=\left(n-3\right)\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n+3\right)⋮384\forall n\) lẻ
h.
n3+ 3n2 -n - 3
= n( n2 -1) + 3( n2 - 1)
= ( n +3)( n2 - 1)
= ( n +3)( n -1)( n +1)
Do n là số nguyên lẻ. Đặt : 2k + 1 = n . Ta có :
( 2k+ 4)2k( 2k +2)
= 2( k + 2)2k . 2( k+ 1)
= 8k( k +1)( k +2)
Do : k ; k+1; k+2 là 3 STN liên tiếp
--> k( k +1).(k+ 2) chia hết cho 6
-->8k( k +1).(k+ 2) chia hết cho 48 với mọi n là số nguyên lẻ
không ai cứu cậu đâu :))